問題
3個のサイコロを同時に投げる試行において，サイコロの目が連続した3つの自然数となる事象をとする．この試行をくり返し行うとき，次の問に答えよ．
(1) 回目に初めて事象が起こる確率を求めよ．
(2) 1回目から回目までの試行のうちに事象が少なくとも1回起こる確率を求め，この確率が以上となる最小のを求めよ．ただし，，として計算せよ．
(3) この試行を4回くり返すとき，事象の起こる回数をとする．の期待値（平均）を求めよ．
方針
まず1回の試行で事象 が起こる確率を数える。連続した3つの目は の4種類で、それぞれ3個のサイコロへの並べ方が 通りある。以後は独立な反復試行として、(1)は初成功時刻、(2)は補集合、(3)は4回の成功回数の期待値として処理する。対数計算では なので不等号の向きに注意する。
解答
まず、1回の試行で事象 が起こる確率を求める。3個のサイコロの目が連続した3つの自然数になるには、目の集合が のいずれかであればよい。それぞれについて、3つの目を3個のサイコロに割り当てる方法は 通りである。全事象は 通りだから である。したがって が起こらない確率は である。
(1)
回目に初めて が起こるには、最初の 回では が起こらず、 回目に が起こればよい。各試行は独立なので、求める確率は である。
(2)
1回目から 回目までに少なくとも1回 が起こる確率は、1回も起こらない確率を1から引いて である。これが 以上となる条件は すなわち である。
常用対数をとると である。ここで
であり、 である。したがって となり、負の数で割るので不等号の向きが変わって を得る。よって最小の自然数 は である。
(3)
4回の各試行で事象 が起こる確率は常に である。 は4回の独立試行における成功回数なので、期待値は である。
別解。各回について、事象 が起これば1、起こらなければ0をとる変数を とおくと、 である。各 の期待値は だから、期待値の和により となる。