北海道大学 1987年度
理系数学 前期 第4問

解答

(1)

$f$ は連続なので、積分上端を含む関数として微分できる。まず $F(x)={\int }_0^{x}f(t)\sin (x-t)dt$ である。微分すると、上端から出る項は $f(x)\sin 0=0$ なので $F^{\prime }(x)={\int }_0^{x}f(t)\cos (x-t)dt$ となる。

さらにもう一度微分すると、今度は上端から $f(x)\cos 0=f(x)$ が出る。したがって $F^{\prime \prime }(x)=f(x)-{\int }_0^{x}f(t)\sin (x-t)dt=f(x)-F(x)$ である。よって $F^{\prime \prime }(x)+F(x)=f(x)$ が成り立つ。

(2)

$h(x)=x{e}^{-x}$ とおく。条件は $F(x)=f(x)-h(x)$ である。(1)の関係式に代入すると $(f-h{)}^{\prime \prime }+(f-h)=f$ である。整理して $f^{\prime \prime }=h^{\prime \prime }+h$ を得る。

ここで $h^{\prime }(x)=(1-x)e^{-x},h^{\prime \prime }(x)=(x-2)e^{-x}$ であるから $h^{\prime \prime }(x)+h(x)=(x-2)e^{-x}+x{e}^{-x}=2(x-1)e^{-x}$ となる。したがって $f^{\prime \prime }(x)=2(x-1)e^{-x}$ である。

次に積分定数を決める。定義から $F(0)={\int }_0^{0}f(t)\sin (0-t)dt=0$ である。また(1)の途中で得た式より $F^{\prime }(0)={\int }_0^{0}f(t)\cos (0-t)dt=0$ である。条件 $F=f-h$ を用いると、$h(0)=0$、$h^{\prime }(0)=1$ だから $f(0)=0,f^{\prime }(0)-1=0$ すなわち $f(0)=0,f^{\prime }(0)=1$ である。 $f^{\prime \prime }(x)=2(x-1)e^{-x}$ を積分すると $f^{\prime }(x)=-2x{e}^{-x}+C$ である。$f^{\prime }(0)=1$ より $C=1$ なので $f^{\prime }(x)=1-2x{e}^{-x}$ である。さらに積分して $f(x)=x+2(x+1)e^{-x}+D$ となる。$f(0)=0$ より $2+D=0$、すなわち $D=-2$ である。

よって求める関数は $f(x)=x+2(x+1)e^{-x}-2$ である。