北海道大学 1987年度理系数学前期第2問解答・解説

問題

平面上に2直線

l_{1} : y cos α - x sin α = 0, l_{2} : y cos β - x sin β = 0

が与えられている．直線 $l_{1}$ ， $l_{2}$ に関する対称移動を表す行列をそれぞれ $A$ ， $B$ とする．

(1) 行列 $A$ を求めよ．

(2) $α - β = θ$ とおくとき，積 $A B$ を $θ$ を用いて表せ．

(3) $(A B)^{2} = B A$ を満たす $θ$ の値を求めよ．ただし， $0 < θ < π$ とする．

出典：北海道大学 1987年度前期日程第2次学力試験理系前期第2問

方針

直線 $l_{1}$ は原点を通り、 $x$ 軸となす角が $α$ の直線である。反射は、直線方向成分をそのまま残し、垂直方向成分の符号を変える変換として成分表示から行列を作る。反射を2回合成すると回転になるので、 $A B$ は角 $2 (α - β)$ の回転、 $B A$ は角 $- 2 (α - β)$ の回転として読む。(3)は回転角の一致条件から $4 θ \equiv - 2 θ$ を解く。

解答

(1)

直線 $y cos α - x sin α = 0$ は、 $y = x tan α$ と書けるので、原点を通り $x$ 軸の正の向きとなす角が $α$ の直線である。この直線方向の単位ベクトルを $(cos α, sin α)$ とし、それに垂直な単位ベクトルを $(- sin α, cos α)$ とする。

点 $(x, y)$ をこの2方向に分けると、直線方向の成分はそのまま、垂直方向の成分は符号が反転する。計算すると、反射後の座標 $(X, Y)$ は $X = x cos 2 α + y sin 2 α,$ $Y = x sin 2 α - y cos 2 α$ となる。したがって行列 $A$ は、第1行が $(cos 2 α, sin 2 α)$ 第2行が $(sin 2 α, - cos 2 α)$ の行列である。

(2)

同様に、 $l_{2}$ に関する対称移動を表す行列 $B$ は、第1行が $(cos 2 β, sin 2 β)$ 第2行が $(sin 2 β, - cos 2 β)$ の行列である。

積 $A B$ の各成分を計算する。第1行第1列成分は $cos 2 α cos 2 β + sin 2 α sin 2 β = cos 2 (α - β)$ である。第1行第2列成分は $cos 2 α sin 2 β - sin 2 α cos 2 β = - sin 2 (α - β)$ である。同様に、第2行第1列成分は $sin 2 (α - β)$ 、第2行第2列成分は $cos 2 (α - β)$ となる。 $θ = α - β$ より、 $A B$ は第1行が $(cos 2 θ, - sin 2 θ)$ 第2行が $(sin 2 θ, cos 2 θ)$ の行列である。これは角 $2 θ$ の回転を表す行列である。

(3)

(2)より $A B$ は角 $2 θ$ の回転であるから、 $(A B)^{2}$ は角 $4 θ$ の回転である。また順序を逆にした $B A$ は角 $- 2 θ$ の回転である。

したがって $(A B)^{2} = B A$ が成り立つためには、2つの回転角が $2 π$ の整数倍だけ異なればよい。すなわち $4 θ - (- 2 θ) = 2 k π$ であり、 $6 θ = 2 k π$ となる。よって $θ = \frac{k π}{3}$ である。条件 $0 < θ < π$ より $k = 1, 2$ だから $θ = \frac{π}{3}, θ = \frac{2 π}{3}$ である。

北海道大学 1987年度理系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

北海道大学 1987年度
理系数学前期第2問