北海道大学 1987年度理系数学前期第3問解答・解説

問題

原点 $O$ を中心とする単位円周上に，次の(i)，(ii)を満たす点列 $P_{0}, P_{1}, P_{2}, \dots\dots$ がある．ただし， $P_{0}$ の座標は $(1, 0)$ とする．

(i) $∠ P_{0} O P_{n}$ は $n$ とともに単調に増大し， $n \to \infty lim ∠ P_{0} O P_{n} = 2 π$ である．

(ii) 数列 ${∠ P_{n - 1} O P_{n}}$ $(n = 1, 2, \dots\dots)$ は初項 $θ$ $(θ > 0)$ ，公比 $r$ $(r > 0)$ の等比数列である．

(1) $θ$ と $r$ との関係式を求めよ．

(2) $α$ は $\frac{π}{4} < α < π$ を満たす定数とする．おうぎ形 $P_{n - 1} O P_{n}$ の面積を $S_{n}$ とするとき，

α = S_{1} + S_{5} + S_{9} + \dots\dots + S_{4 n - 3} + \dots\dots

を満たす $r$ はただ1つ存在することを示せ．

出典：北海道大学 1987年度前期日程第2次学力試験理系前期第3問

方針

隣り合う点を結ぶ中心角 $∠ P_{n - 1} O P_{n}$ が等比数列なので、その総和が極限角 $2 π$ になる条件を使う。単調に増大し極限が有限であるため、公比は $0 < r < 1$ でなければならない。扇形面積は半径1なので中心角の半分であり、 $S_{1}, S_{5}, S_{9}, \dots$ は公比 $r^{4}$ の等比数列になる。最後は $π / ((1 + r) (1 + r^{2}))$ の連続性と単調減少を確認して、存在と一意性を示す。

解答

(1)

条件(ii)より、中心角の増分は $θ, θ r, θ r^{2}, \dots$ である。 $θ > 0$ 、 $r > 0$ であり、 $∠ P_{0} O P_{n}$ はこれらの和である。

条件(i)より $∠ P_{0} O P_{n}$ は単調に増大し、しかも極限が $2 π$ で有限である。したがって等比級数が収束しなければならないので $0 < r < 1$ である。また、全体の和が $2 π$ だから $θ + θ r + θ r^{2} + \dots = \frac{θ}{1 - r} = 2 π$ である。よって $θ = 2 π (1 - r) (0 < r < 1)$ が求める関係式である。

(2)

半径1の扇形の面積は中心角の半分であるから $S_{n} = \frac{1}{2} θ r^{n - 1}$ である。したがって

S_{1} + S_{5} + S_{9} + \dots = \frac{θ}{2} (1 + r^{4} + r^{8} + \dots) = \frac{θ}{2 ( 1 - r ^{4} )} .

(1)の $θ = 2 π (1 - r)$ を代入すると $\frac{θ}{2 ( 1 - r ^{4} )} = \frac{π ( 1 - r )}{1 - r ^{4}} = \frac{π}{( 1 + r ) ( 1 + r ^{2} )}$ である。

そこで $H (r) = \frac{π}{( 1 + r ) ( 1 + r ^{2} )} (0 < r < 1)$ とおく。分母 $(1 + r) (1 + r^{2})$ は $0 < r < 1$ で連続かつ単調増加であるから、 $H (r)$ は連続かつ単調減少である。また $lim_{r \to 0 +} H (r) = π, lim_{r \to 1 -} H (r) = \frac{π}{4}$ である。

したがって $\frac{π}{4} < α < π$ を満たす任意の $α$ に対して、 $H (r) = α$ を満たす $r$ が $0 < r < 1$ に少なくとも1つ存在する。さらに $H (r)$ は単調減少なので、そのような $r$ は高々1つである。よって条件を満たす $r$ はただ1つ存在する。

北海道大学 1987年度理系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 1987年度
理系数学前期第3問