北海道大学 1986年度
文系数学 前期 第4問

解答

直線 $g$ は $\frac{x-3}{2}=y-3=z$ である。共通の値を $\lambda$ とおくと、$g$ 上の点は $(3+2\lambda ,3+\lambda ,\lambda )$ と表される。また $g$ の方向ベクトルは $\vec{v}=(2,1,1)$ である。

求める直線は原点を通り、$g$ 上の点 $P(3+2\lambda ,3+\lambda ,\lambda )$ で $g$ と交わる。したがってその方向ベクトルは $\vec{p}=(3+2\lambda ,3+\lambda ,\lambda )$ である。

2直線の交角が $60^{\circ }$ であるための条件は $\frac{|\vec{p}\cdot \vec{v}|}{|\vec{p}||\vec{v}|}=\frac{1}{2}$ である。両辺を2乗して $(\vec{p}\cdot \vec{v}{)}^2=\frac{1}{4}|\vec{p}{|}^2|\vec{v}{|}^2$ とする。ここで $\vec{p}\cdot \vec{v}=2(3+2\lambda )+(3+\lambda )+\lambda =9+6\lambda$ であり、$|\vec{v}{|}^2=6$ である。また

である。

したがって $(9+6\lambda {)}^2=\frac{1}{4}(6{\lambda }^2+18\lambda +18)\cdot 6$ である。整理すると $(\lambda +1)(\lambda +2)=0$ を得る。よって $\lambda =-1,\lambda =-2$ である。 $\lambda =-1$ のとき、交点は $(1,2,-1)$ である。したがって対応する直線は $\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{-1}$ である。 $\lambda =-2$ のとき、交点は $(-1,1,-2)$ である。したがって対応する直線は $\frac{x}{-1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{-2}$ である。