北海道大学 1986年度文系数学前期第3問解答・解説

問題

関数 $f (x) = x^{3} - x + \frac{2}{3}$ について，次の問に答えよ．

(1) $f (x)$ が減少しない $x$ の範囲を求めよ．

(2) $n$ を正の整数とし， $n ≦ x < n + 1$ の範囲で， $f (x)$ の値が整数となる $x$ の個数を $a_{n}$ とする． $a_{n}$ を， $n$ を用いて表し， $k = 1 \sum n \frac{1}{a _{k}}$ を求めよ．

出典：北海道大学 1986年度前期日程第2次学力試験文系前期第3問

方針

$(1)$ は導関数 $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 1$ の符号で「減少しない」範囲を読む。 $(2)$ では $n ≧ 1$ の区間 $[n, n + 1)$ が $x ≧ 1$ 側にあるため、 $f$ はそこで増加する。半開区間なので値域は $[f (n), f (n + 1))$ となる。両端の値が「整数 $+ 2/3$ 」の形なので、その間に含まれる整数の個数を端の整数部分の差として数え、最後は $a_{k} = 3 k (k + 1)$ を部分分数で和にする。

解答

(1)

$f (x) = x^{3} - x + \frac{2}{3}$ より $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 1$ である。 $f (x)$ が減少しないためには $f^{'} (x) ≧ 0$ であればよいので $3 x^{2} - 1 ≧ 0$ を解く。したがって $x^{2} ≧ \frac{1}{3}$ であり、

x ≦ - \frac{1}{3} または x ≧ \frac{1}{3}

である。

(2)

$n$ は正の整数であるから、区間 $n ≦ x < n + 1$ は $x ≧ 1$ に含まれる。 $(1)$ よりこの区間で $f$ は増加する。したがって、 $n ≦ x < n + 1$ における $f (x)$ の値域は $f (n) ≦ f (x) < f (n + 1)$ である。

ここで $f (n) = n^{3} - n + \frac{2}{3}$ であり、 $f (n + 1) = (n + 1)^{3} - (n + 1) + \frac{2}{3}$ である。 $n^{3} - n$ と $(n + 1)^{3} - (n + 1)$ は整数である。したがって、 $[f (n), f (n + 1))$ に含まれる整数の個数は ${(n + 1)^{3} - (n + 1)} - (n^{3} - n)$ である。よって $a_{n} = (n + 1)^{3} - (n + 1) - n^{3} + n$ であり、整理して $a_{n} = 3 n^{2} + 3 n = 3 n (n + 1)$ となる。

したがって

\frac{1}{a _{k}} = \frac{1}{3 k ( k + 1 )} = \frac{1}{3} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1})

である。よって

k = 1 \sum n \frac{1}{a _{k}} = \frac{1}{3} k = 1 \sum n (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1})

であり、隣り合う項が消えて

k = 1 \sum n \frac{1}{a _{k}} = \frac{1}{3} (1 - \frac{1}{n + 1}) = \frac{n}{3 ( n + 1 )}

である。

別解。整数値の個数は、 $m$ を整数として $f (n) ≦ m < f (n + 1)$ を満たす $m$ の個数である。 $f (n) = N + 2/3$ 、 $f (n + 1) = M + 2/3$ と書けば、該当する整数は $N + 1, N + 2, \dots, M$ であり、その個数は $M - N$ 個である。この見方でも同じく $a_{n} = 3 n (n + 1)$ を得る。

北海道大学 1986年度文系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 1986年度
文系数学前期第3問