北海道大学 1986年度文系数学前期第2問解答・解説

問題

$θ$ は $- \frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2}$ を満たす定数とし， $X = (0 tan θ - tan θ 0)$ ， $E = (1001)$ とする．このとき $(E + X) (E - X)^{- 1}$ で表される1次変換は，原点を中心とする回転であることを示せ．また，その回転角を， $θ$ を用いて表せ．

出典：北海道大学 1986年度前期日程第2次学力試験文系前期第2問

方針

$t = tan θ$ と置いて、 $E - X$ の逆行列を直接計算する。 $- π /2 < θ < π /2$ なので $t$ は実数であり、 $1 + t^{2} > 0$ だから逆行列は常に存在する。積を計算した後、倍角公式 $cos 2 θ = (1 - t^{2}) / (1 + t^{2})$ 、 $sin 2 θ = 2 t / (1 + t^{2})$ に直すと、標準的な回転行列になる。

解答

$t = tan θ$ とおく。 $- π /2 < θ < π /2$ であるから $t$ は実数であり、 $1 + t^{2} > 0$ である。

このとき

E + X = (1 t - t 1), E - X = (1 - t t 1)

である。 $E - X$ の行列式は $1 + t^{2}$ であるから、逆行列は

(E - X)^{- 1} = \frac{1}{1 + t ^{2}} (1 t - t 1)

である。

したがって

(E + X) (E - X)^{- 1} = \frac{1}{1 + t ^{2}} (1 t - t 1) (1 t - t 1)

である。積を計算すると

(E + X) (E - X)^{- 1} = \frac{1}{1 + t ^{2}} (1 - t^{2} 2 t - 2 t 1 - t^{2})

となる。

ここで $t = tan θ$ だから、倍角公式より $\frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}} = cos 2 θ, \frac{2 t}{1 + t ^{2}} = sin 2 θ$ である。よって

(E + X) (E - X)^{- 1} = (cos 2 θ sin 2 θ - sin 2 θ cos 2 θ)

である。

これは原点を中心として角 $2 θ$ だけ回転する1次変換を表す行列である。したがって求める回転角は $2 θ$ である。

北海道大学 1986年度文系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

北海道大学 1986年度
文系数学前期第2問