問題
実数に対して，集合をで表す．
(1) が空集合とならないの範囲を求めよ．
(2) を満たすすべてのに対してつねにとなる点の集合を図示せよ．
方針
は、2本の放物線の間に同じ で点が存在する条件として、下側の式が上側の式以下になる があるかを調べる。これは上に開く2次式の最小値が0以下である条件に帰着する。 は「すべての 」に対する共通部分なので、上側条件は の最小値、下側条件は の最大値をそれぞれ で取る。最大値の出る端が と で変わるため、そこで場合分けして図示範囲を決める。
解答
(1)
が空集合でないためには、ある実数 に対して が成り立てばよい。これを整理すると である。
左辺を とおく。これは上に開く2次式であり、頂点は である。最小値は
である。したがって、ある で となるための条件は すなわち である。よって である。
(2)
求める集合は、 を満たすすべての について を同時に満たす点の集合である。
まず上側条件を考える。 は について増加するので、すべての で を満たすための必要十分条件は、最も小さい の場合を満たすことである。したがって である。
次に下側条件を考える。 である。これが のすべてで下からの条件になるには、右辺の最大値以上に がなければならない。 のときは なので、最大値は で生じる。よって である。この場合、上側条件と両立するには すなわち が必要である。したがって であり、この部分は
である。 のときは なので、最大値は で生じる。よって である。上側条件と両立するには すなわち が必要である。したがって であり、この部分は
である。
以上より、求める集合は上の2つの領域の和集合である。図示すると、上端は共通して放物線 であり、下端は 側では 、 側では である。境界はいずれも含む。