北海道大学 1985年度文系数学前期第4問解答・解説

問題

直線 $y = x$ を $l$ ，放物線 $y = x^{2} + 1$ を $C$ とする．

(1) $l$ 上の任意の点 $P$ から $C$ に2本の接線が引けることを示せ．

(2) (1)の2本の接線と $C$ で囲まれる部分の面積を $S$ ，接点の $x$ 座標を $α$ ， $β$ $(α < β)$ とする． $P$ が $l$ 上を動くとき， $\frac{S}{β - α}$ の最小値を求めよ．

出典：北海道大学 1985年度前期日程第2次学力試験文系前期第4問

方針

点 $P$ を $(p, p)$ と置く。放物線 $y = x^{2} + 1$ の $x = u$ における接線を作り，それが $P$ を通る条件を $u$ の2次方程式にする。判別式が常に正なら2本の接線が引ける。(2) では接点を $α, β$ とし，放物線と接線との差が $(x - α)^{2}$ ， $(x - β)^{2}$ になることを使って面積を積分する。最後に解の差 $β - α$ を判別式から求め， $p$ の二次式として最小化する。

解答

(1)

点 $P$ は直線 $l : y = x$ 上にあるので $P = (p, p)$ とおける。

放物線 $C : y = x^{2} + 1$ の $x = u$ における接線を求める。導関数は $2 x$ なので，接線は $y - (u^{2} + 1) = 2 u (x - u)$ すなわち $y = 2 ux - u^{2} + 1$ である。この接線が点 $P (p, p)$ を通る条件は $p = 2 u p - u^{2} + 1$ である。整理して $u^{2} - 2 p u + p - 1 = 0$ を得る。

この2次方程式の判別式は $(- 2 p)^{2} - 4 (p - 1) = 4 (p^{2} - p + 1)$ である。ここで $p^{2} - p + 1 = (p - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} > 0$ なので，判別式は常に正である。したがって任意の点 $P$ から $C$ に異なる2本の接線が引ける。

(2)

2つの接点の $x$ 座標を $α < β$ とする。 $x = α$ における接線は $y = 2 α x - α^{2} + 1$ であり，放物線との差は $(x^{2} + 1) - (2 α x - α^{2} + 1) = (x - α)^{2}$ である。同様に， $x = β$ における接線との差は $(x - β)^{2}$ である。

2本の接線の交点の $x$ 座標は， $2 α x - α^{2} + 1 = 2 β x - β^{2} + 1$ より $x = \frac{α + β}{2}$ である。したがって囲まれる面積 $S$ は

S = \int_{α}^{(α + β) /2} (x - α)^{2} d x + \int_{(α + β) /2}^{β} (x - β)^{2} d x

である。ここで $h = (β - α) /2$ とおくと，両方の積分はそれぞれ $\int_{0}^{h} t^{2} d t = \frac{h ^{3}}{3}$ に等しい。よって

S = 2 \cdot \frac{1}{3} (\frac{β - α}{2})^{3} = \frac{( β - α ) ^{3}}{12}

である。

一方， $α, β$ は (1) の2次方程式 $u^{2} - 2 p u + p - 1 = 0$ の2つの解である。したがって解の差について $(β - α)^{2} = (α + β)^{2} - 4 α β$ を用いると，解と係数の関係から $(β - α)^{2} = (2 p)^{2} - 4 (p - 1) = 4 (p^{2} - p + 1)$ である。

したがって

\frac{S}{β - α} = \frac{( β - α ) ^{2}}{12} = \frac{p ^{2} - p + 1}{3}

である。これは $\frac{1}{3} {(p - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}}$ なので，最小は $p = 1/2$ のときであり，最小値は $\frac{1}{4}$ である。

北海道大学 1985年度文系数学 前期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 1985年度
文系数学前期第4問