北海道大学 1985年度文系数学前期第2問解答・解説

問題

空間に3点 $A (1, - 1, 1)$ ， $B (1, 1, 1)$ ， $C (0, 0, 1)$ がある．直線 $\frac{x - 2}{a} = \frac{y - 3}{b} = z - 2$ が三角形 $A B C$ と共有点をもつための $a$ ， $b$ の条件を求めよ．また，その条件を満たす点 $(a, b)$ の存在する範囲を図示せよ．ただし，三角形 $A B C$ は周およびその内部を含むものとする．

出典：北海道大学 1985年度前期日程第2次学力試験文系前期第2問

方針

三角形 $A B C$ は平面 $z = 1$ 上にあるので，与えられた直線との交点 $(2 - a, 3 - b, 1)$ を求める。この点の $x y$ 座標が，頂点 $(1, - 1), (1, 1), (0, 0)$ の三角形内にある条件 $0 ≦ u ≦ 1, - u ≦ v ≦ u$ を立て， $u = 2 - a, v = 3 - b$ を代入する。

解答

三角形 $A B C$ は平面 $z = 1$ 上にある。直線の共通の値を $λ$ とおけば

x = 2 + aλ, y = 3 + bλ, z = 2 + λ

である。 $z = 1$ では $λ = - 1$ なので，平面との交点は

(2 - a, 3 - b, 1)

である。

$x y$ 平面上で三角形の頂点は

A^{'} (1, - 1), B^{'} (1, 1), C^{'} (0, 0)

となる。点 $(u, v)$ がこの三角形の周または内部にあるための必要十分条件は

0 ≦ u ≦ 1, - u ≦ v ≦ u

である。

ここに $u = 2 - a, v = 3 - b$ を代入する。第1の条件から

1 ≦ a ≦ 2

を得る。また

- (2 - a) ≦ 3 - b ≦ 2 - a

を $b$ について解くと

a + 1 ≦ b ≦ 5 - a

となる。

したがって求める条件は

1 ≦ a ≦ 2, a + 1 ≦ b ≦ 5 - a

である。図示すると，境界を含む，3点

(1, 2), (1, 4), (2, 3)

を頂点とする三角形領域である。

北海道大学 1985年度文系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

北海道大学 1985年度
文系数学前期第2問