北海道大学 1985年度文系数学前期第3問解答・解説

問題

数列 $x_{0}, x_{1}, x_{2}, \dots\dots, x_{n}, \dots\dots$ は $sin 3 x_{n + 1} = sin x_{n}$ $(n = 0, 1, 2, \dots\dots)$ を満たすとし， $a_{n} = sin x_{n}$ $(n = 0, 1, 2, \dots\dots)$ とおく．

(1) $a_{n}$ と $a_{n + 1}$ の間の関係式を求めよ．

(2) $S_{n} = k = 1 \sum n 3^{k - 1} a_{k}^{3}$ $(n = 1, 2, 3, \dots\dots)$ とおく．すべての自然数 $n$ に対して， $S_{n} = \frac{3 ^{n}}{4} a_{n} - \frac{1}{4} a_{0}$ が成り立つことを数学的帰納法で示せ．

出典：北海道大学 1985年度前期日程第2次学力試験文系前期第3問

方針

(1) は三倍角公式 $sin 3 t = 3 sin t - 4 sin^{3} t$ を $t = x_{n + 1}$ に用いるだけでよい。得られた関係を添字をずらして $4 a_{k}^{3} = 3 a_{k} - a_{k - 1}$ と書くと，(2) の和の各項が $3^{k - 1} (3 a_{k} - a_{k - 1}) /4$ になり，帰納法で一項ずつ消える形になる。初期値 $n = 1$ と帰納法の継ぎ足しを明示する。

解答

(1)

三倍角の公式より $sin 3 x_{n + 1} = 3 sin x_{n + 1} - 4 sin^{3} x_{n + 1}$ である。ここで $a_{n} = sin x_{n}$ であり，問題の条件は $sin 3 x_{n + 1} = sin x_{n}$ であるから $a_{n} = 3 a_{n + 1} - 4 a_{n + 1}^{3}$ を得る。したがって求める関係式は $a_{n} = 3 a_{n + 1} - 4 a_{n + 1}^{3}$ である。

(2)

(1) の式で $n = k - 1$ とおくと $a_{k - 1} = 3 a_{k} - 4 a_{k}^{3}$ である。よって $4 a_{k}^{3} = 3 a_{k} - a_{k - 1}$ が成り立つ。

まず $n = 1$ のときを確認する。 $S_{1} = a_{1}^{3}$ であり，上の関係を $k = 1$ に対して用いると $a_{1}^{3} = \frac{3 a _{1} - a _{0}}{4} = \frac{3}{4} a_{1} - \frac{1}{4} a_{0}$ となる。これは $S_{1} = \frac{3 ^{1}}{4} a_{1} - \frac{1}{4} a_{0}$ であり，主張は $n = 1$ で成り立つ。

次に，ある自然数 $n$ について $S_{n} = \frac{3 ^{n}}{4} a_{n} - \frac{1}{4} a_{0}$ が成り立つと仮定する。このとき $S_{n + 1} = S_{n} + 3^{n} a_{n + 1}^{3}$ であるから，帰納法の仮定と $4 a_{n + 1}^{3} = 3 a_{n + 1} - a_{n}$ より

S_{n + 1} = \frac{3 ^{n}}{4} a_{n} - \frac{1}{4} a_{0} + 3^{n} \cdot \frac{3 a _{n + 1} - a _{n}}{4} = \frac{3 ^{n + 1}}{4} a_{n + 1} - \frac{1}{4} a_{0}

となる。したがって $n + 1$ でも成り立つ。

以上より，数学的帰納法によってすべての自然数 $n$ に対して $S_{n} = \frac{3 ^{n}}{4} a_{n} - \frac{1}{4} a_{0}$ が成り立つ。

北海道大学 1985年度文系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 1985年度
文系数学前期第3問