北海道大学 1985年度
文系数学 前期 第1問

解答

行列方程式 $A^2+A=-E$ を成分で比較する。まず

であるから，

である。これが

に等しいので $a^2+bc+a=-1,$ $b(a+d+1)=0,c(a+d+1)=0,$ $d^2+bc+d=-1$ を得る。

ここで，もし $a+d+1\ne 0$ であったとする。このとき非対角成分の式から $b=0,c=0$ である。すると対角成分の式は $a^2+a=-1$ すなわち $a^2+a+1=0$ を含む。しかしこの方程式の判別式は $1-4=-3<0$ であり，実数 $a$ については成り立たない。したがって $a+d+1=0$ でなければならない。よって $a+d=-1$ である。

次に $d=-a-1$ を用いる。対角成分の式 $a^2+bc+a=-1$ から $bc=-a^2-a-1$ である。一方 $ad=a(-a-1)=-a^2-a$ なので $ad-bc=(-a^2-a)-(-a^2-a-1)=1$ である。

したがって，与えられた2次方程式は $x^2-(a+d)x+ad-bc=0$ であるから $x^2+x+1=0$ となる。この解を $\omega$ とする。$\omega =1$ なら左辺は3となるので，$\omega \ne 1$ である。また ${\omega }^2+\omega +1=0$ を満たすから ${\omega }^3-1=(\omega -1)({\omega }^2+\omega +1)=0$ である。$\omega -1\ne 0$ なので ${\omega }^3=1$ である。よって，この2次方程式の各解の3乗は1となる。