北海道大学 1984年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

点 $P$ が曲線 $y = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}$ の上を運動している．その速さはつねに毎秒1であり，速度ベクトルの $x$ 成分はつねに正である．ただし， $e$ は自然対数の底である．

(1) 点 $P$ が点 $(0, 1)$ を通過してから $t$ 秒後の点 $P$ の $x$ 座標を $t$ で表せ．

(2) 点 $P$ におけるこの曲線の接線と $x$ 軸との交点を $Q$ とする．点 $P$ が点 $(0, 1)$ を通過してから2秒後の点 $Q$ の速さを求めよ．

出典：北海道大学 1984年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

方針

速さが常に1で $x$ 成分が正なので、時刻は曲線の弧の長さと一致する。まず $d s / d x$ を計算すると $(e^{x} + e^{- x}) /2$ になり、 $t = (e^{x} - e^{- x}) /2$ が得られる。これを解いて $x$ を $t$ で表す。(2)では経過時間を $t$ とし、接線の傾きが $(e^{x} - e^{- x}) /2 = t$ 、点 $P$ の $y$ 座標が $t^{2} + 1$ であることを使う。 $Q$ の座標を $t$ の関数として表し、微分して $t = 2$ を代入する。

解答

(1)

曲線を $y = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}$ とおく。このとき $\frac{d y}{d x} = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}$ である。したがって

\frac{d s}{d x} = 1 + (\frac{d y}{d x})^{2} = 1 + (\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2})^{2} = \frac{e ^{2 x} + 2 + e ^{- 2 x}}{4} = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} .

速さは毎秒1で、速度ベクトルの $x$ 成分は正なので、点 $(0, 1)$ を通過してから $t$ 秒後には $t = \int_{0}^{x} \frac{e ^{u} + e ^{- u}}{2} d u = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}$ である。 $X = e^{x}$ とおくと $t = \frac{X - X ^{- 1}}{2}$ であり、 $X^{2} - 2 tX - 1 = 0$ を得る。 $X > 0$ なので $X = t + t^{2} + 1$ である。したがって求める $x$ 座標は $x = lo g (t + t^{2} + 1)$ である。

(2)

経過時間を $t$ として考える。(1)より $\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = t$ であり、これは点 $P$ における接線の傾きでもある。また

(\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2})^{2} - (\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2})^{2} = 1

より、点 $P$ の $y$ 座標は $y = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = t^{2} + 1$ である。

点 $P = (x, y)$ における接線は $Y - y = t (X - x)$ である。 $x$ 軸との交点 $Q$ では $Y = 0$ なので、その $X$ 座標を $X_{Q}$ とすると $X_{Q} = x - \frac{y}{t}$ である。したがって $X_{Q} (t) = lo g (t + t^{2} + 1) - \frac{t ^{2} + 1}{t}$ である。 $Q$ は $x$ 軸上を動くので、その速さは $∣ X_{Q}^{'} (t) ∣$ である。まず $\frac{d}{d t} lo g (t + t^{2} + 1) = \frac{1}{t ^{2} + 1}$ である。また

\frac{d}{d t} (\frac{t ^{2} + 1}{t}) = \frac{t \cdot t / t ^{2} + 1 - t ^{2} + 1}{t ^{2}} = - \frac{1}{t ^{2} t ^{2} + 1} .

したがって

X_{Q}^{'} (t) = \frac{1}{t ^{2} + 1} + \frac{1}{t ^{2} t ^{2} + 1} = \frac{t ^{2} + 1}{t ^{2}}

である。2秒後、すなわち $t = 2$ のとき、 $Q$ の速さは $\frac{5}{4}$ である。

北海道大学 1984年度理系数学 前期 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 1984年度
理系数学前期第5問