問題
空間に4点，，，をとる．実数に対して，点，を，によって定め，線分の中点を通りこの線分に垂直な平面をとする．
(1) 平面の方程式を求めよ．
(2) の値を変えて平面を動かすとき，平面はによらない一定の直線を含むことを示せ．
出典：北海道大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第2問
方針
の座標を で表し、線分 の中点と に垂直な平面という条件から、 を法線ベクトルにして平面の方程式を作る。得られた方程式を を含まない部分と の係数部分に分けると、全ての で同時に満たされる2つの平面が現れる。その交わりは によらない一定の直線であり、これがすべての平面 に含まれることを示す。
解答
(1)
まず である。したがって であり、 である。
線分 の中点を とすると である。また平面 は に垂直なので、法線ベクトルとして を取ることができる。
よって平面 の方程式は
である。定数項を右辺へ移すと
である。右辺は
である。したがって である。
(2)
(1)の方程式を について整理すると である。ここで かつ を満たす点は、どの に対しても上の方程式を満たす。したがって、すべての平面 は2平面 の交わりを含む。
この交わりが直線であることを確認するため、 とおく。すると と表せる。したがってこの交わりは1つの実数 で動く直線である。しかも方程式に が含まれないので、平面 は によらない一定の直線を含む。