問題
曲線と軸上に中心をもつ円が，点において同一の直線に接しているものとする．ただし，とする．
(1) 円の中心の座標をで表せ．
(2) 曲線は，点を除いては円の外にあることを示せ．
(3) 点が曲線の上を動くとき，点と円の中心との距離の2乗の最小値をで表せ．
出典：北海道大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第4問
方針
円の中心を と置き、点 で曲線と円の接線の傾きが一致する条件から を求める。曲線上の点 と中心との距離の2乗を とおけば、(2)は が でただ1つの最小値を取ることを示す問題になる。 を、増加関数 の差として見て符号を決める。(3)は最小値 を計算する。
解答
(1)
円 の中心を とおく。点 における曲線の接線の傾きは である。
一方、円の半径 の傾きは であり、円の接線は半径に垂直であるから、円の接線の傾きは である。2つの接線が一致するので である。整理すると であり、 となる。
(2)
曲線上の点 と中心 との距離の2乗を とおく。円の半径の2乗は である。したがって、点 以外の曲線上の点が円の外にあることを示すには、 で を示せばよい。
(1)の を用いて微分すると
ここで とおくと である。また なので、 は増加する。
したがって では 、 では である。よって は でただ1つの最小値を取る。したがって なら であり、曲線は点 を除いて円 の外にある。
(3)
(2)より、中心から曲線上の点までの距離の2乗の最小値は である。 だから、
よって求める最小値は である。