北海道大学 1984年度
理系数学 前期 第3問

解答

まず $b=\frac{|a+1|-|a-1|}{2}$ を範囲ごとに求める。 $a<-1$ のとき、$|a+1|=-(a+1),|a-1|=-(a-1)=1-a$ であるから $b=\frac{-a-1-(1-a)}{2}=-1$ である。 $-1\leqq a<1$ のとき、$|a+1|=a+1,|a-1|=1-a$ なので $b=\frac{a+1-(1-a)}{2}=a$ である。 $a\geqq 1$ のとき、$|a+1|=a+1,|a-1|=a-1$ なので $b=\frac{a+1-(a-1)}{2}=1$ である。したがって

である。

次に $c_n$ の極限を調べる。$a\geqq 1$ のときは $b=1$ であるから $c_n=\frac{1+1+\cdots +1}{n}=1$ であり、極限値は1である。 $a<1$ のときは $-1\leqq b<1$ である。まず $-1<b<1$ なら、等比数列の和より $1+b+b^2+\cdots +b^{n-1}=\frac{1-b^n}{1-b}$ である。この和は $n$ が大きくなっても一定の範囲におさまるので、$\frac{1+b+b^2+\cdots +b^{n-1}}{n}\to 0$ となる。

残る $b=-1$ の場合、和 $1+(-1)+(-1{)}^2+\cdots +(-1{)}^{n-1}$ は0または1である。したがってこの場合も $n$ で割れば0に近づく。

以上より

である。