問題
2つの放物線，のそれぞれが軸と囲む部分の面積は等しいとする．ただし，，とする．
(1) をの式で表せ．
(2) これら2つの放物線に同時に接し傾きが負である直線と軸との交点は，のときどのような点に近づくか．
出典：北海道大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第4問
方針
(1)は2つの放物線と 軸で囲む面積を直接積分し、等しいという条件から を得る。(2)では共通接線の傾きが負なので、各放物線の接点の 座標を正に取る。 の接点を 、 の接点を として、接線の傾きと 軸切片が等しい条件を連立する。切片を の式にしてから の極限を取る。
解答
(1)
と 軸で囲まれる部分の面積は
である。
一方、 と 軸との交点は である。したがって囲まれる面積は
これが に等しいので であり、 である。
(2)
(1)より2つ目の放物線は である。 の における接線は である。傾きが負なので である。
また の における接線は である。傾きが負なので である。
これらが同じ直線であるためには、傾きと 軸切片が等しければよい。したがって および である。 を代入すると である。 のとき、 だから である。
求める直線と 軸との交点の 座標を とすると である。よって となる。したがって交点は に近づく。