問題
3辺の長さがいずれも70より小さい整数で，かつ等差数列になっている3角形は何個あるか．ただし，合同な3角形は区別しないものとする．
出典：北海道大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第3問
方針
合同な三角形を区別しないので、3辺を小さい順に とおく。 は正三角形、 は真に等差な場合である。三角形条件は最大辺について 、つまり であり、70未満の条件は最大辺から となる。固定した ごとに の個数を数え、最後に和を取る。
解答
合同な三角形は区別しないので、3辺を小さい順に とおく。ただし は整数で、 である。
三角形であるためには、最大辺 が他の2辺の和より小さければよい。したがって であり、整理して を得る。また、3辺がすべて70より小さいことは、最大辺について と同値である。
まず の場合、3辺は であり、 だから 個である。
次に とする。条件 と から である。固定した に対する の個数は である。これが正となるのは のときである。
したがって求める個数は
よって である。