北海道大学 1984年度
文系数学 前期 第1問

解答

$M=2^m$ とおく。$m>2$ より $M>4$ である。

(1)

(A)は $x^2-2Mx+3M=0$ である。判別式は $(-2M{)}^2-4\cdot 3M=4M(M-3)$ であり、$M>4$ だから正である。よって(A)は2つの異なる実数解をもつ。

(B)では、対数が定義されるために $x>1$ が必要である。このもとで $2{\log }_{2}x-{\log }_2(x-1)=m$ は ${\log }_2\frac{x^2}{x-1}={\log }_{2}M$ と同値であり、さらに $x^2=M(x-1)$ すなわち $x^2-Mx+M=0$ と同値である。この判別式は $M^2-4M=M(M-4)>0$ なので、2つの異なる実数解をもつ。

定義域も確認する。$q(x)=x^2-Mx+M$ とおくと $q(1)=1>0,q(2)=4-M<0$ であるから、小さい方の根は $1$ と $2$ の間にある。また2根の積は $M>0$ であり、和も $M>0$ であるから、もう一方の根も正で、しかも小さい根より大きい。したがって(B)の2解はいずれも $x>1$ を満たす。よって(B)も2つの異なる実数解をもつ。

(2)

(A)の左辺を $p(x)=x^2-2Mx+3M$ とおく。まず(A)の2根の位置を調べる。 $p(0)=3M>0,p(2)=4-4M+3M=4-M<0$ である。上に開く2次式であるから、(A)の小さい根を $\alpha$、大きい根を $\beta$ とすると $0<\alpha <2<\beta$ である。

次に(B)の2次式 $q(x)=x^2-Mx+M$ を考える。差を取ると $q(x)-p(x)=Mx-2M=M(x-2)$ である。したがって(A)の根、すなわち $p(x)=0$ を満たす $x$ では $q(x)=M(x-2)$ となる。よって $q(\alpha )=M(\alpha -2)<0,q(\beta )=M(\beta -2)>0$ である。

(B)の2つの解を $r<s$ とする。$q(x)$ は上に開く2次式なので、$q(x)<0$ となるのは $r<x<s$ のときに限る。したがって $q(\alpha )<0$ より $\alpha$ は(B)の2解の間にあり、$q(\beta )>0$ より $\beta$ はその間にない。ゆえに(A)の解のうちちょうど1つだけが(B)の2つの解の間にある。