北海道大学 1984年度
文系数学 前期 第2問

解答

(1)

変換後の点は $(ax+by,cx+dy)$ である。第1象限の任意の点 $(x,y)$ に対してこの点も第1象限にあるから、常に $ax+by>0,cx+dy>0$ である。

もし $a<0$ なら、$y=1$ と固定して $x$ を十分大きくすると $ax+b<0$ となり矛盾する。したがって $a\geqq 0$ である。もし $b<0$ なら、$x=1$ と固定して $y$ を十分大きくすると $a+by<0$ となり矛盾する。よって $b\geqq 0$ である。

同じ議論を第2成分に用いると、$c<0$ なら $y=1$ で $x$ を十分大きくすれば矛盾し、$d<0$ なら $x=1$ で $y$ を十分大きくすれば矛盾する。したがって $a\geqq 0,b\geqq 0,c\geqq 0,d\geqq 0$ である。

(2)

$f$ が第1象限を第1象限へうつすので、(1)より $a,b,c,d\geqq 0$ である。$\Delta =ad-bc$ とおくと、$\Delta \ne 0$ であり、逆変換は

で表される。$f^{-1}$ も第1象限を第1象限へうつすので、この逆行列の成分もすべて0以上である。

まず $\Delta >0$ の場合を考える。このとき $\frac{-b}{\Delta }\geqq 0,\frac{-c}{\Delta }\geqq 0$ より $b\leqq 0,c\leqq 0$ である。すでに $b,c\geqq 0$ だから $b=c=0$ である。さらに $\Delta =ad\ne 0$ なので、$a,d\geqq 0$ と合わせて $a>0,d>0$ である。

次に $\Delta <0$ の場合を考える。このとき $\frac{d}{\Delta }\geqq 0,\frac{a}{\Delta }\geqq 0$ より $d\leqq 0,a\leqq 0$ である。すでに $a,d\geqq 0$ だから $a=d=0$ である。すると $\Delta =-bc\ne 0$ なので、$b,c\geqq 0$ と合わせて $b>0,c>0$ である。

よって必要条件は $b=c=0,a>0,d>0$ または $a=d=0,b>0,c>0$ である。

十分性も確認する。前者では $(x,y)\mapsto (ax,dy)$ であり、逆変換も正の定数で割るだけなので、第1象限は第1象限へうつる。後者では $(x,y)\mapsto (by,cx)$ であり、正の定数倍をしながら2つの座標を入れ替えるだけなので、逆変換も同じく第1象限を第1象限へうつす。したがって求める条件は上の2通りである。