問題
大小2個のさいころを同時に投げる試行をとする．1回の試行でさいころが2個とも偶数の目の出る事象をとする．
(1) 試行をくり返すとき，回目にはじめて事象が起こる確率が以下となる最小のを求めよ．ただし，，として計算せよ．
(2) 試行をくり返すとき，回目に事象が起これば，事象が起こらなければとし，とする．このとき，の期待値（平均値）を求めよ．
出典：北海道大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第5問
方針
事象 の確率は文系第2問と同じく である。(1)は初めて が起こる確率 を作り、与えられた常用対数で最小の を求める。(2)では が0または1を取るので、 である。期待値は和に分けられるため、独立性の細かい計算をせずに と求める。
解答
1個のさいころで偶数が出る確率は である。大小2個のさいころがどちらも偶数となる確率は である。したがって が起こらない確率は である。
(1)
回目にはじめて事象 が起こるには、最初の 回では が起こらず、 回目に が起こればよい。よってその確率は である。これが 以下となる条件は である。
常用対数を用いる。 だから であり、また である。したがって となる。負の数で割るので不等号が反転し、 である。よって最小の は である。
(2)
は、事象 が起これば1、起こらなければ0を取る。したがって である。 なので、期待値の和を用いて
したがって である。