北海道大学 1983年度
理系数学 前期 第4問

解答

(1)

与えられた関数は $f(x)={\int }_0^x(x-t){\cos }^{3}tdt$ である。上端と 被積分関数の $x$ 依存に注意して微分すると $f^{\prime }(x)={\int }_0^x{\cos }^{3}tdt$ である。ここで ${\cos }^{3}t=\cos t(1-{\sin }^{2}t)$ だから $\int {\cos }^{3}tdt=\sin t-\frac{1}{3}{\sin }^{3}t$ である。したがって

である。 $1-(1/3){\sin }^{2}x$ は常に正である。よって $f^{\prime }(x)$ の符号は $\sin x$ の符号と同じである。定義域 $-\frac{1}{2}\pi <x<\frac{3}{2}\pi$ で $f^{\prime }(x)=0$ となるのは $x=0,x=\pi$ である。 $\sin x$ の符号より、$f^{\prime }(x)<0$ は $-\pi /2<x<0$ と $\pi <x<3\pi /2$、$f^{\prime }(x)>0$ は $0<x<\pi$ である。したがって $x=0$ で極小、$x=\pi$ で極大となる。

(2)

まず $f(0)=0$ である。次に $f(\pi )={\int }_0^{\pi }(\pi -t){\cos }^{3}tdt$ を計算する。$G(t)=\sin t-(1/3){\sin }^{3}t$ とおくと、$G^{\prime }(t)={\cos }^{3}t$ である。部分積分により

である。端点では $G(0)=G(\pi )=0$ なので境界項は消える。

ここで ${\int }_0^{\pi }\sin tdt=2$ であり、また ${\int }_0^{\pi }{\sin }^{3}tdt={\int }_0^{\pi }\sin t(1-{\cos }^{2}t)dt=\frac{4}{3}$ である。したがって $f(\pi )=2-\frac{1}{3}\cdot \frac{4}{3}=\frac{14}{9}$ となる。

以上より、極小値は $0$ であり、極大値は $\frac{14}{9}$ である。