北海道大学 1983年度理系数学前期第3問解答・解説

問題

$x$ の方程式 $x = lo g x + lo g n$ について，次の問に答えよ．ただし， $n$ は $n ≧ 3$ なる自然数である．

(1) 上の方程式の解 $x$ で $\frac{1}{n} ≦ x ≦ \frac{e}{n}$ なるものはただ1つ存在することを示せ．ここで， $e$ は自然対数の底であり，その値は $2.718 \dots$ であることが知られている．

(2) $n$ に対して(1)で定まる解を $x_{n}$ とするとき， $n \to \infty lim n x_{n}$ を求めよ．

出典：北海道大学 1983年度前期日程第2次学力試験理系前期第3問

方針

方程式を $h (x) = x - lo g x - lo g n = 0$ と見る。指定区間 $[1/ n, e / n]$ では $n ≧ 3$ より $x < 1$ なので、 $h^{'} (x) = 1 - 1/ x < 0$ となり、 $h$ は単調減少する。両端の符号を調べれば解の存在と一意性が分かる。(2)では $y_{n} = n x_{n}$ と置き、方程式を $lo g y_{n} = y_{n} / n$ に直す。 $1 ≦ y_{n} ≦ e$ により右辺が0に近づくので、 $lo g y_{n} \to 0$ 、したがって $y_{n} \to 1$ となる。

解答

(1)

$h (x) = x - lo g x - lo g n$ とおく。与えられた方程式 $x = lo g x + lo g n$ は $h (x) = 0$ と同値である。

指定された区間では $\frac{1}{n} ≦ x ≦ \frac{e}{n}$ である。 $n ≧ 3$ で $e < 3$ だから $\frac{e}{n} < 1$ であり、この区間では常に $0 < x < 1$ である。したがって $h^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x} < 0$ となる。よって $h (x)$ はこの区間で単調に減少する。

次に両端の値を調べる。

h (\frac{1}{n}) = \frac{1}{n} - lo g \frac{1}{n} - lo g n = \frac{1}{n} + lo g n - lo g n = \frac{1}{n} > 0

である。また

h (\frac{e}{n}) = \frac{e}{n} - lo g \frac{e}{n} - lo g n = \frac{e}{n} - (1 - lo g n) - lo g n = \frac{e}{n} - 1 < 0

である。

単調減少で、左端で正、右端で負であるから、区間 $\frac{1}{n} ≦ x ≦ \frac{e}{n}$ に $h (x) = 0$ を満たす解はただ1つ存在する。

(2)

(1)で定まる解を $x_{n}$ とし、 $y_{n} = n x_{n}$ とおく。(1)より $1 ≦ y_{n} ≦ e$ である。方程式は $x_{n} = lo g x_{n} + lo g n = lo g (n x_{n})$ と書けるので、 $\frac{y _{n}}{n} = lo g y_{n}$ である。

ここで $1 ≦ y_{n} ≦ e$ だから $0 ≦ \frac{y _{n}}{n} ≦ \frac{e}{n}$ である。したがって $\frac{y _{n}}{n} \to 0$ であり、上の関係から $lo g y_{n} \to 0$ である。 $y_{n} > 0$ なので、対数の連続性より $y_{n} \to 1$ である。したがって $lim_{n \to \infty} n x_{n} = 1$ である。

北海道大学 1983年度理系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 1983年度
理系数学前期第3問