北海道大学 1983年度
文系数学 前期 第4問

解答

正方形内で、放物線 $y=1+2kx-3k^2{x}^2$ より下側にある部分の面積を $A(k)$ とする。放物線によって正方形が面積の等しい2つの部分に分けられる条件は $A(k)=\frac{1}{2}$ である。

まず $k>0$ の場合を考える。放物線が $y=1$ と交わるのは $1+2kx-3k^2{x}^2=1$ より $kx(2-3kx)=0$ だから $x=0,x=\frac{2}{3k}$ である。また $x$ 軸との正の交点は $1+2kx-3k^2{x}^2=0$ より $x=\frac{1}{k}$ である。 $0<k\leqq 2/3$ のとき、$0\leqq x\leqq 1$ で放物線は $y=1$ 以上にある。したがって $A(k)=1$ であり、条件を満たさない。 $2/3<k\leqq 1$ のとき、$x=2/(3k)$ までは正方形の縦の長さ全体が下側に入り、その後は放物線の高さまでが下側に入る。よって $A(k)=\frac{2}{3k}+{\int }_{2/(3k)}^1(1+2kx-3k^2{x}^2)dx$ である。原始関数は $x+k{x}^2-k^2{x}^3$ なので、計算すると $A(k)=1+k-k^2-\frac{4}{27k}$ である。この式の導関数は $1-2k+4/(27k^2)$ であり、$2/3<k\leqq 1$ では負である。したがってこの範囲で $A(k)$ は減少し、その最小値は $k=1$ のときの $23/27$ であるから、$1/2$ にはならない。 $k>1$ のときは、$x=1/k$ 以後は放物線が $x$ 軸より下になる。したがって $A(k)=\frac{2}{3k}+{\int }_{2/(3k)}^{1/k}(1+2kx-3k^2{x}^2)dx$ である。上と同じ原始関数を用いると $A(k)=\frac{23}{27k}$ となる。条件 $A(k)=1/2$ より $\frac{23}{27k}=\frac{1}{2}$ であり、$k=\frac{46}{27}$ を得る。これは $k>1$ を満たす。

次に $k<0$ の場合を考える。$K=-k>0$ とおくと、放物線は $y=1-2Kx-3K^2{x}^2$ である。この放物線は $x\geqq 0$ で減少し、$x$ 軸との交点は $1-2Kx-3K^2{x}^2=0$ より $x=\frac{1}{3K}$ である。 $0<K\leqq 1/3$ のとき、交点は $x=1$ より右にあるので $A(k)={\int }_0^1(1-2Kx-3K^2{x}^2)dx=1-K-K^2$ である。これを $1/2$ とおくと $K=(-1+\sqrt{3})/2$ となるが、これは $1/3$ より大きく、この場合には入らない。 $K>1/3$ のときは、$x=1/(3K)$ 以後は放物線が $x$ 軸より下にある。よって $A(k)={\int }_0^{1/(3K)}(1-2Kx-3K^2{x}^2)dx$ である。原始関数は $x-K{x}^2-K^2{x}^3$ なので $A(k)=\frac{1}{3K}-\frac{1}{9K}-\frac{1}{27K}=\frac{5}{27K}$ である。条件 $A(k)=1/2$ より $\frac{5}{27K}=\frac{1}{2}$ となり、$K=\frac{10}{27}$ である。これは $K>1/3$ を満たす。したがって $k=-\frac{10}{27}$ である。

以上より、求める値は $k=\frac{46}{27},-\frac{10}{27}$ である。