問題
大小2個のさいころを同時に投げる試行をとする．1回の試行でさいころが2個とも偶数の目の出る事象をとする．
(1) 試行をくり返すとき，回目にはじめて事象が起こる確率が以下となる最小のを求めよ．ただし，，として計算せよ．
(2) 試行をくり返すとき，回目に事象が起これば，事象が起こらなければとし，とする．このとき，となる確率を求めよ．
出典：北海道大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第2問
方針
1回の試行で2個とも偶数が出る確率は であり、試行は独立に繰り返される。(1)は「初めて起こる」確率なので、前 回は失敗し、 回目に成功する等比型の確率を作る。与えられた常用対数の値を用い、負の数で割ると不等号が反転する点に注意する。(2)は4回中に事象 が起こる回数を とし、 と表して を数える。
解答
1個のさいころで偶数が出る確率は である。大小2個のさいころを投げるので、事象 の確率は である。したがって が起こらない確率は である。
(1)
回目にはじめて事象 が起こるには、最初の 回では が起こらず、 回目で が起こればよい。よってその確率は である。これが 以下となる条件は すなわち である。
常用対数を取る。 であり、 である。また である。したがって である。負の数で割るので不等号が反転し、 となる。よって最小の整数 は である。
(2)
4回のうち事象 が起こる回数を とする。 が起これば 、起こらなければ なので、 である。したがって となるのは すなわち の場合である。
よって求める確率は
である。計算して となる。したがって である。