問題
(1) がの範囲を動くとき，関数の最小値を求めよ．
(2) なるすべてのに対して，不等式
が成り立つようなの範囲を求めよ．
出典：北海道大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第3問
方針
と置けば、 は に対応し、 となる。(1)は の最小値を相加相乗または微分で求める。(2)も同じ置換で、全ての に対し が必要十分になる。右辺の最小値は だが、不等式が厳密なので等号の場合は許されない。
解答
(1)
とおく。 より である。また だから である。 なので、相加相乗平均の関係より である。等号は すなわち のときに成り立つ。このとき であり、条件を満たす。したがって最小値は である。
(2)
同じく とおくと、 である。与えられた不等式は である。 で割ると となる。これがすべての で成り立つためには、右辺の最小値よりも が小さくなければならない。
(1)と同じ計算から であり、等号は のときに成り立つ。したがって である。
不等式は という厳密な形である。もし なら、 のとき等号になってしまい、条件を満たさない。したがって求める範囲は である。