問題
空間の直線を，直線をとし，2直線，によって定まる平面をとする．
(1) 原点を通り，平面に含まれ，かつ直線と直交する直線の方程式を求めよ．
(2) 原点を通り，平面に含まれ，かつ直線とのなす角がである直線の方程式を求めよ．
出典：北海道大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第1問
方針
2直線はどちらも原点を通るので、平面 はそれぞれの方向ベクトル 、 で張られる。求める直線も原点を通り 内にあるため、方向ベクトルを と置く。(1)は との直交条件、すなわち との内積が0という条件で求める。(2)は とのなす角が である条件を、内積公式を2乗して解く。
解答
直線 の方向ベクトルを とし、直線 の方向ベクトルを とする。2直線はともに原点を通るので、平面 は で張られる平面である。したがって、 に含まれ原点を通る直線の方向ベクトルは と表せる。
(1)
求める直線は と直交するので である。ここで だから である。例えば と取ればよい。このとき である。したがって求める直線は である。
(2)
方向ベクトルを とおく。 なら そのものになり角が0なので、 の場合をこのように表してよい。
内積と長さを計算する。 であり、また である。 だから、直線どうしのなす角が である条件は である。両辺を2乗して となる。整理すると すなわち である。よって となる。
したがって方向ベクトルとして を取ればよい。すなわち または である。したがって求める直線は
および
である。