北海道大学 1982年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

$n$ 個の袋があり，第 $k$ 番目の袋には赤い球が $k$ 個と白い球が $n - k$ 個入っている．袋の1つを無作為に選び，その袋から球を無作為に1つ取り出し色を見てもとに戻すことをその選ばれた袋で6回くり返すものとする．このとき，赤い球をちょうど3回取り出す確率を $P_{n}$ とし， $n \to \infty lim P_{n}$ を求めよ．

出典：北海道大学 1982年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

方針

第 $k$ 番目の袋が選ばれたとき、1回の取り出しで赤が出る確率は $k / n$ で一定である。選んだ袋を固定したまま6回戻し入れながら取り出すので、条件付きでは二項型の確率になる。袋の選択は等確率なので $k = 1$ から $n$ まで平均し、 $1/ n \sum F (k / n)$ の形に直して区分求積法で極限を定積分にする。最後に $20 \int_{0}^{1} x^{3} (1 - x)^{3} d x$ を展開して計算する。

解答

第 $k$ 番目の袋には赤い球が $k$ 個、白い球が $n - k$ 個入っている。合計は $n$ 個なので、この袋が選ばれたとき、1回の取り出しで赤が出る確率は $\frac{k}{n}$ であり、白が出る確率は $1 - \frac{k}{n}$ である。

選ばれた袋で、取り出した球を毎回もとに戻して6回くり返すから、袋を固定すれば各回の確率は同じである。したがって、第 $k$ 番目の袋が選ばれたという条件のもとで赤がちょうど3回出る確率は

_{6} C_{3} (\frac{k}{n})^{3} (1 - \frac{k}{n})^{3}

である。

袋は $n$ 個から等確率に選ばれるので、全体の確率 $P_{n}$ はこれらの平均である。よって

P_{n} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n_{6} C_{3} (\frac{k}{n})^{3} (1 - \frac{k}{n})^{3}

である。ここで $_{6} C_{3} = 20$ だから

P_{n} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n 20 (\frac{k}{n})^{3} (1 - \frac{k}{n})^{3}

となる。

関数 $20 x^{3} (1 - x)^{3}$ は $0 ≦ x ≦ 1$ で連続であるから、区分求積法により $lim_{n \to \infty} P_{n} = 20 \int_{0}^{1} x^{3} (1 - x)^{3} d x$ である。積分を計算する。 $x^{3} (1 - x)^{3} = x^{3} - 3 x^{4} + 3 x^{5} - x^{6}$ なので

\int_{0}^{1} x^{3} (1 - x)^{3} d x = [\frac{x ^{4}}{4} - \frac{3 x ^{5}}{5} + \frac{x ^{6}}{2} - \frac{x ^{7}}{7}]_{0}^{1}

である。したがって

\int_{0}^{1} x^{3} (1 - x)^{3} d x = \frac{1}{4} - \frac{3}{5} + \frac{1}{2} - \frac{1}{7}

であり、分母を $140$ にそろえると $\frac{35 - 84 + 70 - 20}{140} = \frac{1}{140}$ となる。ゆえに $lim_{n \to \infty} P_{n} = 20 \cdot \frac{1}{140} = \frac{1}{7}$ である。

別解。区分求積法の代わりに、和を展開してもよい。

P_{n} = \frac{20}{n} k = 1 \sum n {(\frac{k}{n})^{3} - 3 (\frac{k}{n})^{4} + 3 (\frac{k}{n})^{5} - (\frac{k}{n})^{6}}

である。各 $r$ について

n \to \infty lim \frac{1}{n} k = 1 \sum n (\frac{k}{n})^{r} = \frac{1}{r + 1}

を用いると、同じく

20 (\frac{1}{4} - \frac{3}{5} + \frac{1}{2} - \frac{1}{7}) = \frac{1}{7}

を得る。

北海道大学 1982年度理系数学 前期 第5問

問題

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解答

北海道大学 1982年度
理系数学前期第5問