北海道大学 1982年度理系数学前期第2問解答・解説

問題

$a + b = c + d$ を満たす行列 $(a c b d)$ 全体の集合を $R$ とする．ただし $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ は実数とする．

(1) $A$ ， $B \in R$ のとき， $A B \in R$ であることを示せ．

(2) $A = (a c b d) \in R$ とする． $b \neq = 0$ または $c \neq = 0$ のとき， $A u = k u$ を満たす実数 $k$ と単位ベクトル $u$ の組をすべて求めよ．

出典：北海道大学 1982年度前期日程第2次学力試験理系前期第2問

方針

(1) は $a + b = c + d$ を「 $(1, 1)^{T}$ が同じ向きに移る」という形で表すと、積について閉じていることが短く示せる。(2) は $A u = k u$ を満たす非零ベクトルの方向をすべて求める問題である。まず $(1, 1)^{T}$ が必ず1つの方向を与える。残りについては $A - k I$ の成分条件を使い、可能な $k$ が $a + b$ と $a - c$ に限られることを示す。最後に単位ベクトルへ正規化し、 $b = - c$ のとき2つの表示が重なることを明記する。

解答

{(1) $e = (1, 1)^{T}$ とおく。 $A \in R$ であることは、ある実数 $s$ により $A e = s e$ と書けることと同値である。 $A e = s e, B e = t e$ なら

A B e = A (t e) = s t e

だから $A B \in R$ である。

(2)

$d = a + b - c$ である。まず

A (11) = (a + b) (11)

より、 $k = a + b$ , $u = \pm 2^{- 1/2} (1, 1)^{T}$ を得る。

全解性を確認する。 $A (p, q)^{T} = k (p, q)^{T}$ が非零解をもつには

0 = det (A - k E) = (a - k) (a + b - c - k) - b c = (k - a - b) (k - a + c)

である。したがって $k = a + b$ または $k = a - c$ に限られる。前者では $- b p + b q = 0, c p - c q = 0$ であり、 $b \neq = 0$ または $c \neq = 0$ だから $p = q$ となる。後者では $c p + b q = 0$ だから、方向は $(p, q) = (b, - c)$ である。実際、 $d = a + b - c$ を用いると

A (b - c) = (a - c) (b - c) .

よって求める組は

(a + b, \pm \frac{1}{2} (11)), (a - c, \pm \frac{1}{b ^{2} + c ^{2}} (b - c)) .

ただし $b = - c$ のときは2つの表示が同じ組を与えるので、重複は1回だけ数える。}

北海道大学 1982年度理系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

(2)

北海道大学 1982年度
理系数学前期第2問