北海道大学 1982年度
理系数学 前期 第4問

解答

(1)

与えられた等式 ${\int }_0^{x}f(t)dt=xf(x)+g(x)$ に $x=0$ を代入すると $0=g(0)$ である。

また、両辺を $x$ で微分する。左辺は $f(x)$、右辺は積の微分により $f(x)+x{f}^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)$ であるから $f(x)=f(x)+x{f}^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)$ となる。したがって $x{f}^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)=0$ である。特に $x=0$ を代入して $g^{\prime }(0)=0$ を得る。 $g$ は3次関数なので $g(x)=p{x}^3+q{x}^2+rx+s$ とおく。$g(0)=0$ より $s=0$、$g^{\prime }(0)=0$ より $r=0$ である。したがって $g(x)=p{x}^3+q{x}^2$ と書ける。

さらに $x=1/2$ で極値をとるので $g^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=0$ である。$g^{\prime }(x)=3p{x}^2+2qx$ だから $\frac{3p}{4}+q=0$ である。また $g(1)=1/3$ より $p+q=\frac{1}{3}$ である。連立すると $p=\frac{4}{3},q=-1$ である。よって $g(x)=\frac{4}{3}{x}^3-x^2$ である。実際、$g^{\prime }(x)=4x^2-2x=2x(2x-1)$ なので $x=1/2$ で極値をとる。

(2)

(1) で求めた $g$ について $g^{\prime }(x)=4x^2-2x$ である。$x{f}^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)=0$ より、$x\ne 0$ では $f^{\prime }(x)=-\frac{4x^2-2x}{x}=-4x+2$ である。したがって $x>0$ と $x<0$ のそれぞれで $f(x)=-2x^2+2x+C$ の形になる。$f$ は微分可能なので $x=0$ で連続であり、左右の積分定数は同じである。よってすべての $x$ で $f(x)=-2x^2+2x+C$ と書ける。

条件 $f(1)=5$ から $-2+2+C=5$ であるから $C=5$ である。したがって $f(x)=-2x^2+2x+5$ である。

最後に確認すると ${\int }_0^x(-2t^2+2t+5)dt=-\frac{2}{3}{x}^3+x^2+5x$ であり、

なので、確かに与式を満たす。