北海道大学 1982年度
理系数学 前期 第3問

解答

(1)

$y=e^{-\sqrt{3}x}\sin \left(3x+\frac{\pi }{6}\right)$ とおく。微分すると

である。ここで $e^{-\sqrt{3}x}>0$ なので、$y^{\prime }=0$ は

と同値である。すなわち $\tan \left(3x+\frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{3}$ であるから $3x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}+k\pi (k\text{ は整数})$ となる。したがって臨界点は $x=\frac{\pi }{18}+\frac{k\pi }{3}$ である。

指定された区間を $I_n=\left(\frac{2(n-1)}{3}\pi ,\frac{2n}{3}\pi \right)$ と書く。$x=\pi /18+k\pi /3$ が $I_n$ に入る条件は $\frac{2(n-1)}{3}\pi <\frac{\pi }{18}+\frac{k\pi }{3}<\frac{2n}{3}\pi$ である。$3/\pi$ を掛けると $2n-2<\frac{1}{6}+k<2n$ となるから、この範囲に入る整数 $k$ は $k=2n-2,k=2n-1$ の2つだけである。

さらに $y^{\prime }=2\sqrt{3}{e}^{-\sqrt{3}x}\cos \left(3x+\frac{\pi }{3}\right)$ とも書ける。$k=2n-2$ の臨界点では $3x+\pi /3=\pi /2+(2n-2)\pi$ となり、$y^{\prime }$ は正から負へ変わるので極大である。$k=2n-1$ の臨界点では $3x+\pi /3=\pi /2+(2n-1)\pi$ となり、$y^{\prime }$ は負から正へ変わるので極小である。したがって各区間 $I_n$ で極大値および極小値をそれぞれ1回ずつとる。

(2)

(1) より、$I_n$ で極大となるのは $k=2n-2$ に対応する臨界点である。その $x$ 座標は $x_n=\frac{\pi }{18}+\frac{(2n-2)\pi }{3}$ である。このとき $3x_n+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}+(2n-2)\pi$ なので $\sin \left(3x_n+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ である。したがって極大値 $y_n$ は

である。

これは初項 $y_1=\frac{\sqrt{3}}{2}\exp \left(-\frac{\sqrt{3}\pi }{18}\right)$ 公比 $\exp \left(-\frac{2\sqrt{3}\pi }{3}\right)$ の等比数列である。公比は $0$ より大きく $1$ より小さいので、無限和は

である。すなわち

である。