広島大学 2026年度理系数学第5問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ を

a_{1} = 2, a_{n + 1} = a_{n} + \frac{1}{a _{n}} (n = 1, 2, 3, \dots)

により定める。次の問いに答えよ。必要ならば， $lim_{n \to \infty} \frac{l o g n}{n} = 0$ であることを用いてよい。

(1) すべての自然数 $n$ に対して， $a_{n}$ は正の有理数であることを示せ。

(2) すべての自然数 $n$ に対して， $a_{n} ≧ 2 n + 2$ であることを示せ。

(3) すべての自然数 $n$ に対して， $a_{n} ≦ 2 n + 2 + \frac{1}{2} lo g n$ であることを示せ。

(4) 極限値 $lim_{n \to \infty} (a_{n} - 2 n)$ を求めよ。

出典：広島大学 2026年度前期理系第5問

$a_{n + 1}^{2} = a_{n}^{2} + 2 + 1/ a_{n}^{2}$ を基本式にする。下からの評価で $a_{n}^{2} ≧ 2 n + 2$ を作り，その結果を $1/ a_{n}^{2}$ の上からの評価に戻して上界を得る。最後は上下界からはさむ。

$a_{1} = 2$ は正の有理数である。 $a_{n}$ が正の有理数であるとすると， $1/ a_{n}$ も正の有理数であり，

a_{n + 1} = a_{n} + \frac{1}{a _{n}}

も正の有理数である。よって数学的帰納法により，すべての自然数 $n$ について $a_{n}$ は正の有理数である。

漸化式より

a_{n + 1}^{2} = (a_{n} + \frac{1}{a _{n}})^{2} = a_{n}^{2} + 2 + \frac{1}{a _{n}^{2}}

である。 $a_{1}^{2} = 4 = 2 \cdot 1 + 2$ である。 $a_{n}^{2} ≧ 2 n + 2$ と仮定すると

a_{n + 1}^{2} = a_{n}^{2} + 2 + \frac{1}{a _{n}^{2}} ≧ 2 n + 4 = 2 (n + 1) + 2

である。よって数学的帰納法により

a_{n} ≧ 2 n + 2

である。

(2)より $a_{k}^{2} ≧ 2 k + 2$ であるから

\frac{1}{a _{k}^{2}} ≦ \frac{1}{2 k + 2}

である。また

a_{n}^{2} = a_{1}^{2} + 2 (n - 1) + k = 1 \sum n - 1 \frac{1}{a _{k}^{2}}

である。したがって

a_{n}^{2} ≦ 4 + 2 (n - 1) + k = 1 \sum n - 1 \frac{1}{2 k + 2} = 2 n + 2 + \frac{1}{2} j = 2 \sum n \frac{1}{j}

である。さらに

j = 2 \sum n \frac{1}{j} ≦ \int_{1}^{n} \frac{d x}{x} = lo g n

であるから

a_{n}^{2} ≦ 2 n + 2 + \frac{1}{2} lo g n

である。 $a_{n} > 0$ より

a_{n} ≦ 2 n + 2 + \frac{1}{2} lo g n

である。

(2)より

a_{n} - 2 n ≧ 2 n + 2 - 2 n

であり，右辺は $0$ に近づく。一方，(3)より

a_{n} - 2 n ≦ 2 n + 2 + \frac{1}{2} lo g n - 2 n

である。右辺を有理化すると

\frac{2 + \frac{1}{2} lo g n}{2 n + 2 + \frac{1}{2} lo g n + 2 n}

であり，問題文で与えられた極限からこれは $0$ に近づく。よってはさみうちにより

n \to \infty lim (a_{n} - 2 n) = 0

である。