広島大学 2026年度理系数学第4問解答・解説

問題

$p$ を $2$ より大きい実数とする。次の問いに答えよ。

(1) 関数 $y = x (1 + x^{2})^{- p}$ $(x ≧ 0)$ が最大値をとるときの $x$ の値を $a$ とする。 $a$ を $p$ を用いて表せ。

(2) $1 + x^{2} = t$ とおくことにより，不定積分 $\int 2 x^{3} (1 + x^{2})^{- p} d x$ を求めよ。

(3) $a$ を(1)で求めたものとし，

S (p) = \int_{0}^{a} x (1 + x^{2})^{- p} d x

とおく。極限値 $lim_{p \to \infty} pS (p)$ を求めよ。

(4) $a$ を(1)で求めたものとし，

T (p) = \int_{0}^{a} 2 x^{3} (1 + x^{2})^{- p} d x

とおく。極限値 $lim_{p \to \infty} p^{2} T (p)$ を求めよ。

出典：広島大学 2026年度前期理系第4問

最大値の位置は微分で求める。 $S (p)$ は直接積分し， $(1 + 1/ (2 p - 1))^{- (p - 1)}$ の極限に帰着する。 $T (p)$ は(2)で求めた不定積分に上端 $a$ を代入し， $p^{2}$ を掛けた式を整理して極限をとる。

y = x (1 + x^{2})^{- p}

とおくと

y^{'} = (1 + x^{2})^{- p - 1} {1 - (2 p - 1) x^{2}}

である。 $x ≧ 0$ で $(1 + x^{2})^{- p - 1} > 0$ であり， $1 - (2 p - 1) x^{2}$ は $x = 1/ 2 p - 1$ で符号を正から負に変える。よって

a = \frac{1}{2 p - 1}

である。

$t = 1 + x^{2}$ とおくと， $d t = 2 x d x$ ， $x^{2} = t - 1$ であるから

\int 2 x^{3} (1 + x^{2})^{- p} d x = \int (t - 1) t^{- p} d t

である。したがって

\int 2 x^{3} (1 + x^{2})^{- p} d x = - \frac{t ^{2 - p}}{p - 2} + \frac{t ^{1 - p}}{p - 1} + C = - \frac{( 1 + x ^{2} ) ^{2 - p}}{p - 2} + \frac{( 1 + x ^{2} ) ^{1 - p}}{p - 1} + C

である。

(1)より $a^{2} = 1/ (2 p - 1)$ である。また

S (p) = \int_{0}^{a} x (1 + x^{2})^{- p} d x = \frac{1 - ( 1 + a ^{2} ) ^{1 - p}}{2 ( p - 1 )}

である。ここで

1 + a^{2} = 1 + \frac{1}{2 p - 1}

であり，

(1 + \frac{1}{2 p - 1})^{p - 1} \to e^{1/2}

だから

(1 + a^{2})^{1 - p} \to e^{- 1/2}

である。よって

p \to \infty lim pS (p) = \frac{1}{2} (1 - e^{- 1/2})

である。

(2)の結果を用いる。 $A = 1 + a^{2}$ とおくと，(1)より

A = 1 + \frac{1}{2 p - 1}

である。また

T (p) = [- \frac{( 1 + x ^{2} ) ^{2 - p}}{p - 2} + \frac{( 1 + x ^{2} ) ^{1 - p}}{p - 1}]_{0}^{a}

であるから，

T (p) = \frac{1}{( p - 2 ) ( p - 1 )} + \frac{A ^{1 - p}}{p - 1} - \frac{A ^{2 - p}}{p - 2}

である。したがって

p^{2} T (p) = \frac{p ^{2}}{( p - 2 ) ( p - 1 )} + \frac{p ^{2} A ^{1 - p} {( p - 2 ) - A ( p - 1 )}}{( p - 2 ) ( p - 1 )}

である。ここで

A^{1 - p} = (1 + \frac{1}{2 p - 1})^{1 - p} \to e^{- 1/2}

かつ

(p - 2) - A (p - 1) = - 1 - \frac{p - 1}{2 p - 1} \to - \frac{3}{2}

である。よって

p \to \infty lim p^{2} T (p) = 1 - \frac{3}{2} e^{- 1/2}

である.