広島大学 2026年度理系数学第2問解答・解説

問題

座標平面上に楕円 $C : x^{2} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ と $2$ 点 $A (0, 3)$ ， $B (0, - 3)$ がある。 $m > 0$ とし，点Aを通る傾き $m$ の直線を $ℓ$ とする。楕円 $C$ と直線 $ℓ$ との二つの交点をP，Qとし， $2$ 点P，Qの $x$ 座標をそれぞれ $α, β$ $(α > β)$ とする。次の問いに答えよ。

(1) $α + β$ と $α β$ をそれぞれ $m$ を用いて表せ。

(2) 線分PQの長さを $m$ を用いて表せ。

(3) 線分BPと線分BQの長さの和が $5$ であるとき，線分PQの長さを求めよ。また，そのときの $m$ の値を求めよ。

(4) $m$ が(3)で求めた値であるとき，三角形BPQの面積を求めよ。

出典：広島大学 2026年度前期理系第2問

方針

直線を $y = m x + 3$ とおいて楕円に代入し，交点の $x$ 座標が満たす二次方程式を作る。A，Bが楕円の焦点であることを使うと(3)が短くなり，面積は底辺PQとBから直線への距離で出せる。

解答

(1)

直線 $ℓ$ は

y = m x + 3

である。これを楕円の方程式に代入すると

x^{2} + \frac{( m x + 3 ) ^{2}}{4} = 1

より

(m^{2} + 4) x^{2} + 23 m x - 1 = 0

を得る。したがって解と係数の関係より

α + β = - \frac{2 3 m}{m ^{2} + 4}, α β = - \frac{1}{m ^{2} + 4}

である。

(2)

(α - β)^{2} = (α + β)^{2} - 4 α β = \frac{16 ( m ^{2} + 1 )}{( m ^{2} + 4 ) ^{2}}

である。 $α > β$ より

α - β = \frac{4 m ^{2} + 1}{m ^{2} + 4}

である。直線 $ℓ$ 上では， $x$ 座標の差が $α - β$ のとき距離は $1 + m^{2} (α - β)$ であるから

PQ = \frac{4 ( m ^{2} + 1 )}{m ^{2} + 4}

である。

(3)

楕円 $C$ は長半径 $2$ ，焦点が $A (0, 3)$ ， $B (0, - 3)$ である。したがって楕円上の点Xについて

AX + BX = 4

である。P，Qは直線 $ℓ$ 上で点Aをはさんで反対側にあるので，

AP + AQ = PQ

である。よって

BP + BQ = 8 - (AP + AQ) = 8 - PQ

である。これが $5$ であるから

PQ = 3

である。(2)より

\frac{4 ( m ^{2} + 1 )}{m ^{2} + 4} = 3

であるから， $m^{2} = 8$ となる。 $m > 0$ より

m = 22

である。

(4)

$m = 22$ のとき，直線 $ℓ$ は

22 x - y + 3 = 0

である。点Bから直線 $ℓ$ までの距離は

\frac{∣0 - ( - 3 ) + 3 ∣}{( 2 2 ) ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = \frac{2 3}{3}

である。したがって三角形BPQの面積は

\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{2 3}{3} = 3

である。

広島大学 2026年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2026年度
理系数学第2問