広島大学 2026年度理系数学第3問解答・解説

問題

すべての面が合同な四面体OABCがあり， $OA = 2$ ， $OB = OC = 5$ である。点Oから $3$ 点A，B，Cの定める平面に垂線OHを下ろす。 $O A = a$ ， $O B = b$ ， $O C = c$ とする。次の問いに答えよ。

(1) 内積 $a \cdot b$ ， $b \cdot c$ ， $c \cdot a$ の値を求めよ。さらに，三角形AOBの面積を求めよ。

(2) $O H ⊥ A B$ ， $O H ⊥ A C$ であることを利用して， $A H = s A B + t A C$ を満たす実数 $s, t$ の値を求めよ。

(3) 垂線OHの長さを求めよ。

(4) 四面体OABCを $3$ 点O，C，Hの定める平面によって切り，二つの立体に分ける。体積が小さい方の立体の体積を求めよ。

出典：広島大学 2026年度前期理系第3問

内積とHの位置は文系型と同じ。最後は，Hの三角形ABC内での重みから，平面OCHが辺ABと交わる点Dの位置を求め，底面ABCの面積比を体積比に移す。

すべての面が合同であるから， $AB = AC = 5$ ， $BC = 2$ である。したがって

a \cdot b = 1, b \cdot c = 4, c \cdot a = 1

である。三角形AOBは辺の長さが $2, 5, 5$ の二等辺三角形であるから，底辺を $2$ とすると高さは $3/ 2$ である。よって面積は

\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}

である。

O H = (1 - s - t) a + s b + t c

である。 $O H ⊥ A B$ ， $O H ⊥ A C$ より

O H \cdot (b - a) = 0, O H \cdot (c - a) = 0

である。内積の値を代入して

5 s + 4 t = 1, 4 s + 5 t = 1

を得る。よって

s = t = \frac{1}{9}

である。

(2)より

O H = \frac{7}{9} a + \frac{1}{9} b + \frac{1}{9} c

である。したがって

OH^{2} = \frac{7}{9} a + \frac{1}{9} b + \frac{1}{9} c^{2} = \frac{16}{9}

より

OH = \frac{4}{3}

である。

(2)より

A H = \frac{1}{9} A B + \frac{1}{9} A C

である。平面OCHと平面ABCの交線は直線CHである。直線CHが辺ABと交わる点をDとすると，Dは直線CH上にあるから，Hの重み

H = \frac{7}{9} A + \frac{1}{9} B + \frac{1}{9} C

を用いて，Dは

D = \frac{7}{8} A + \frac{1}{8} B

で表される。したがって $AD : DB = 1 : 7$ である。

平面OCHは四面体を，底面が三角形ACDの部分と三角形BCDの部分に分ける。底面ABC上の面積比は

三角形 ACD : 三角形 BCD = 1 : 7

であり，高さは共通なので体積比も $1 : 7$ である。四面体OABC全体の体積は

\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2}{3}

であるから，体積が小さい方は

\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{12}

である。