広島大学 2025年度理系数学第3問解答・解説

問題

$0 < θ < \frac{π}{3}$ を満たす $θ$ に対し、座標平面上の原点 $O (0, 0)$ を中心とする半径 $1$ の円上の $4$ 点

A (1, 0), B (cos θ, sin θ), C (cos 2 θ, sin 2 θ), D (cos 3 θ, sin 3 θ)

を考え、 $△ O A D$ の面積を $S (θ)$ 、 $△ A B C$ の面積を $T (θ)$ 、 $△ A B D$ の面積を $U (θ)$ とする。次の問いに答えよ。

(1) $lim_{θ \to + 0} \frac{S ( θ )}{θ}$ を求めよ。

(2) $lim_{θ \to + 0} \frac{T ( θ )}{θ ^{3}}$ を求めよ。

(3) $t = cos θ$ とおく。 $\frac{U ( θ )}{sin θ}$ を $t$ の整式で表せ。

(4) 関数 $f (θ)$ を

f (θ) = \frac{T ( θ )}{U ( θ )}

と定義する。 $lim_{θ \to + 0} f (θ)$ を求めよ。また、 $θ$ が $0 < θ < \frac{π}{3}$ の範囲を動くとき、 $f (θ)$ のとり得る値の範囲を求めよ。

出典：広島大学 2025年度前期理系第3問

各三角形の面積を座標の行列式で表し，三角関数の加法・倍角・三倍角公式で因数分解する。極限では $sin θ / θ$ と $(1 - cos θ) / θ^{2}$ を用い，値域では $t = cos θ \in (1/2, 1)$ へ移す。

4点は円周上を角 $θ$ ずつ進む位置にある。面積の符号を固定するため， $0 < 3 θ < π$ であることも使う。

図を準備中です。

$△ O A D$ の面積は

S (θ) = \frac{1}{2} sin 3 θ

である。よって

θ \to + 0 lim \frac{S ( θ )}{θ} = \frac{1}{2} θ \to + 0 lim \frac{sin 3 θ}{θ} = \frac{3}{2}

である。

2 T (θ) = (cos θ - 1) sin 2 θ - sin θ (cos 2 θ - 1)

である。これを整理すると

T (θ) = sin θ (1 - cos θ)

となる。したがって

θ \to + 0 lim \frac{T ( θ )}{θ ^{3}} = θ \to + 0 lim \frac{sin θ}{θ} \cdot \frac{1 - cos θ}{θ ^{2}} = \frac{1}{2}

である。

2 U (θ) = (cos θ - 1) sin 3 θ - sin θ (cos 3 θ - 1)

である。 $t = cos θ$ とおくと、 $sin 3 θ = sin θ (4 t^{2} - 1)$ 、 $cos 3 θ = 4 t^{3} - 3 t$ より

U (θ) = sin θ (1 + t - 2 t^{2})

である。よって

\frac{U ( θ )}{sin θ} = 1 + t - 2 t^{2}

である。

(2)、(3)より

f (θ) = \frac{sin θ ( 1 - t )}{sin θ ( 1 + t - 2 t ^{2} )} = \frac{1}{2 t + 1}

である。ただし $t = cos θ$ であり、 $0 < θ < \frac{π}{3}$ より

\frac{1}{2} < t < 1

である。 $f (θ) = 1/ (2 t + 1)$ は $t$ について連続かつ単調減少である。したがって

θ \to + 0 lim f (θ) = \frac{1}{3}

であり、 $f (θ)$ のとり得る値の範囲は

\frac{1}{3} < f (θ) < \frac{1}{2}

である。