広島大学 2025年度理系数学第5問解答・解説

問題

$i$ を虚数単位とする。複素数 $z_{n}$ （ $n = 1, 2, 3, \dots$ ）を

z_{1} = 3 + 2 i, z_{n + 1} = 2 (z_{n} - i)^{2} + i (n = 1, 2, 3, \dots)

により定める。次の問いに答えよ。

(1) $z_{2} - i$ と $z_{3} - i$ を極形式で表せ。

(2) $z_{n} - i$ を極形式で

z_{n} - i = r_{n} (cos θ_{n} + i sin θ_{n})

と表したとき、 $lo g_{2} r_{n}$ を $n$ を用いて表せ。

(3) $z_{n}$ を $n$ を用いて表せ。

(4) 複素数 $z_{n}$ が表す複素数平面上の点を $P_{n}$ とする。 $3$ 点 $P_{3}, P_{5}, P_{2025}$ が一直線上にあることを示せ。

出典：広島大学 2025年度前期理系第5問

$w_{n} = z_{n} - i$ とおくと $w_{n + 1} = 2 w_{n}^{2}$ になる。極形式では絶対値が $2$ 倍して平方され、偏角が $2$ 倍されるので、絶対値の対数と偏角をそれぞれ漸化式で処理する。

$w_{n} = z_{n} - i$ とおくと

w_{1} = 3 + i = 2 (cos \frac{π}{6} + i sin \frac{π}{6}), w_{n + 1} = 2 w_{n}^{2}

である。したがって

z_{2} - i = w_{2} = 8 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3})

であり、さらに

z_{3} - i = w_{3} = 128 (cos \frac{2 π}{3} + i sin \frac{2 π}{3})

である。

$z_{n} - i = r_{n} (cos θ_{n} + i sin θ_{n})$ と表すと、

r_{n + 1} = 2 r_{n}^{2}

である。 $u_{n} = lo g_{2} r_{n}$ とおけば

u_{1} = 1, u_{n + 1} = 1 + 2 u_{n}

であるから、

u_{n} = 2^{n} - 1

である。すなわち

lo g_{2} r_{n} = 2^{n} - 1

である。

偏角は $θ_{1} = \frac{π}{6}$ から始まり、 $w_{n + 1} = 2 w_{n}^{2}$ により $2$ 倍される。したがって

z_{n} = i + 2^{2^{n} - 1} (cos \frac{2 ^{n - 1} π}{6} + i sin \frac{2 ^{n - 1} π}{6})

である。

$n = 3, 5, 2025$ はいずれも奇数で $n ≧ 3$ である。このとき $2^{n - 1} \equiv 4 (mod 12)$ であるから、

\frac{2 ^{n - 1} π}{6} \equiv \frac{2 π}{3} (mod 2 π)

である。よって $P_{3}, P_{5}, P_{2025}$ はいずれも点 $(0, 1)$ から偏角 $\frac{2 π}{3}$ の方向にある半直線上の点である。したがって $3$ 点 $P_{3}, P_{5}, P_{2025}$ は一直線上にある。