広島大学 2025年度理系数学第4問解答・解説

問題

$n$ を自然数とする。 $(3 n + 1)$ 個の箱 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{3 n + 1}$ があり、 $1$ から $3 n + 1$ までの各自然数 $k$ に対して、 $k$ 番目の箱 $A_{k}$ には、 $1$ から $k$ までの整数が一つずつ書かれた $k$ 枚のカードが入っている。これを初期状態とする。次の問いに答えよ。

(1) 箱 $A_{3 n + 1}$ に入っているすべてのカードに書かれた整数の平均値 $L$ を $n$ を用いて表せ。

(2) 箱 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{3 n + 1}$ に入っているすべてのカードに書かれた整数の平均値 $M$ を $n$ を用いて表せ。

(3) 初期状態から、箱 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{3 n + 1}$ に入っているすべてのカードを箱 $B$ に移す。箱 $B$ から $1$ 枚のカードを取り出すとき、カードに書かれた整数が(2)で求めた値 $M$ に等しくなる確率を $P (n)$ とする。 $P (n)$ を $n$ を用いて表せ。

(4) $M$ を(2)で求めた値とする。初期状態から、箱 $A_{M}, A_{M + 1}, \dots, A_{3 n + 1}$ だけ集めて、ケース $C$ に収納する。ケース $C$ から一つの箱を選び、さらにその箱から $1$ 枚のカードを取り出す。カードに書かれた整数が $M$ に等しいとき、そのカードが箱 $A_{3 n + 1}$ から取り出されている条件付き確率を $Q (n)$ とする。 $lim_{n \to \infty} n Q (n)$ を求めよ。

出典：広島大学 2025年度前期理系第4問

方針

箱ごとの枚数とカード番号の総和を、 $1$ から $3 n + 1$ までの和で計算する。条件付き確率では、値 $M$ のカードを引く確率を箱番号 $k$ ごとに足し、最後は調和和を定積分の極限として評価する。

解答

(1)

箱 $A_{3 n + 1}$ には $1, 2, \dots, 3 n + 1$ のカードが入っているから、平均値は

L = \frac{1 + ( 3 n + 1 )}{2} = \frac{3 n + 2}{2}

である。

(2)

$N = 3 n + 1$ とおく。すべてのカードの枚数は

1 + 2 + \dots + N = \frac{N ( N + 1 )}{2}

である。また、すべてのカードに書かれた整数の総和は

k = 1 \sum N \frac{k ( k + 1 )}{2} = \frac{N ( N + 1 ) ( N + 2 )}{6}

である。したがって

M = \frac{N + 2}{3} = n + 1

である。

(3)

$M = n + 1$ である。値が $M$ であるカードは、箱 $A_{n + 1}, A_{n + 2}, \dots, A_{3 n + 1}$ に $1$ 枚ずつ入っているので、全部で $2 n + 1$ 枚である。よって

P (n) = \frac{2 n + 1}{( 3 n + 1 ) ( 3 n + 2 ) /2} = \frac{2 ( 2 n + 1 )}{( 3 n + 1 ) ( 3 n + 2 )}

である。

(4)

箱 $A_{k}$ を選び、その箱から値 $M$ のカードを引く確率は、 $n + 1 ≦ k ≦ 3 n + 1$ に対して

\frac{1}{2 n + 1} \cdot \frac{1}{k}

である。したがって条件付き確率は

Q (n) = \frac{\frac{1}{2 n + 1} \cdot \frac{1}{3 n + 1}}{\frac{1}{2 n + 1} k = n + 1 \sum 3 n + 1 \frac{1}{k}} = \frac{1}{( 3 n + 1 ) k = n + 1 \sum 3 n + 1 \frac{1}{k}}

である。ゆえに

n Q (n) = \frac{n}{3 n + 1} (k = n + 1 \sum 3 n + 1 \frac{1}{k})^{- 1}

である。ここで

k = n + 1 \sum 3 n + 1 \frac{1}{k} = \frac{1}{n} k = n + 1 \sum 3 n + 1 \frac{1}{k / n} ⟶ \int_{1}^{3} \frac{d x}{x} = lo g 3

であるから、

n \to \infty lim n Q (n) = \frac{1}{3 lo g 3}

である。

広島大学 2025年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2025年度
理系数学第4問