広島大学 2025年度理系数学第1問解答・解説

問題

次の問いに答えよ。ただし、 $lo g$ は自然対数を表す。

(1) $x > 0$ で定義された次の関数の最大値を求めよ。

f (x) = \frac{lo g x}{x}

(2) 次の不定積分をそれぞれ求めよ。

\int lo g x d x, \int (lo g x)^{2} d x

(3) (1)で求めた最大値を $a$ として、座標平面上の二つの曲線 $C_{1} : y = a x$ 、 $C_{2} : y = lo g x$ を考える。 $x$ 軸と二つの曲線 $C_{1}, C_{2}$ によって囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる立体の体積 $V$ を求めよ。

出典：広島大学 2025年度前期理系第1問

方針

(1)は $x^{- 1/2} lo g x$ を微分して増減を調べる。(2)は部分積分を用いる。(3)では (1) の最大値から $lo g x ≦ a x$ を使い、 $C_{2}$ が $x$ 軸と交わる $x = 1$ と接点 $x = e^{2}$ で積分区間を分けて回転体の体積を計算する。

解答

(1)

f^{'} (x) = x^{- 3/2} (1 - \frac{1}{2} lo g x)

である。したがって $0 < x < e^{2}$ で $f^{'} (x) > 0$ 、 $x > e^{2}$ で $f^{'} (x) < 0$ となるから、最大値は

f (e^{2}) = \frac{2}{e}

である。

(2)

部分積分により

\int lo g x d x = x lo g x - x + C

である。また

\int (lo g x)^{2} d x = x (lo g x)^{2} - 2 \int lo g x d x = x {(lo g x)^{2} - 2 lo g x + 2} + C

である。

(3)

(1)より $a = 2/ e$ である。すべての $x > 0$ に対して $lo g x ≦ a x$ であり、等号は $x = e^{2}$ のときである。また $lo g x = 0$ は $x = 1$ で成り立つ。よって求める体積は

V = π \int_{0}^{1} (\frac{2}{e} x)^{2} d x + π \int_{1}^{e^{2}} {(\frac{2}{e} x)^{2} - (lo g x)^{2}} d x

である。これは

V = π {\int_{0}^{e^{2}} \frac{4}{e ^{2}} x d x - \int_{1}^{e^{2}} (lo g x)^{2} d x}

と整理できる。(2)より

\int_{1}^{e^{2}} (lo g x)^{2} d x = [x {(lo g x)^{2} - 2 lo g x + 2}]_{1}^{e^{2}} = 2 e^{2} - 2

であり、また

\int_{0}^{e^{2}} \frac{4}{e ^{2}} x d x = 2 e^{2}

である。したがって

V = 2 π

である。

広島大学 2025年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

広島大学 2025年度
理系数学第1問