広島大学 2021年度文理共通数学第3問（理系）解答・解説

問題

$1$ 個のさいころを $3$ 回投げる． $1$ 回目に出た目の数を $a,$ $2$ 回目に出た目の数を $b,$ $3$ 回目に出た目の数を $c$ とする．また， $f (x) = (- 1)^{a} x^{2} + b x + c$ とする．次の問いに答えよ．(1)　 $b^{2} > 4 c$ である確率を求めよ．(2)　 $2$ 次方程式 $f (x) = 0$ が異なる二つの実数解をもつ確率を求めよ．(3)　 $2$ 次方程式 $f (x) = 0$ が異なる二つの実数解をもつとき， $f^{'} (1) = 7$ である条件付き確率を求めよ．(4)　 $2$ 次方程式 $f (x) = 0$ が異なる二つの実数解をもつとき，少なくとも一つが正の解である条件付き確率を求めよ．

出典：広島大学 2021年度前期文理共通第3問

方針

(1)(2)は文系類題と同じく $(b, c)$ の数え上げと $a$ の偶奇で処理する。(3)は $f^{'} (1) = 2 (- 1)^{a} + b$ を用いる。(4)は， $a$ が偶数なら実数解があっても2解はともに負， $a$ が奇数なら積が負で一方が正になることを使う。

解答

(1)

$b = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ の順に， $b^{2} > 4 c$ を満たす $c$ の個数は

0, 0, 2, 3, 6, 6

であるから，求める確率は

\frac{17}{36}

である。

(2)

$a$ が偶数のとき，判別式は $b^{2} - 4 c$ であるから有利な $(b, c)$ は17通りである。 $a$ が奇数のとき，判別式は $b^{2} + 4 c$ で常に正である。よって有利な組は

3 \cdot 17 + 3 \cdot 36 = 159

通りである。全体は216通りなので，求める確率は

\frac{159}{216} = \frac{53}{72}

である。

(3)

f^{'} (1) = 2 (- 1)^{a} + b

である。 $f^{'} (1) = 7$ となるのは， $a$ が偶数で $b = 5$ のときだけである。このとき $25 > 4 c$ は $c = 1, 2, \dots, 6$ のすべてで成り立つ。したがって有利な組は $3 \cdot 6 = 18$ 通りであり，条件付き確率は

\frac{18}{159} = \frac{6}{53}

である。

(4)

$a$ が偶数のとき，方程式は $x^{2} + b x + c = 0$ であり，実数解をもつ場合でも，解の和は $- b < 0$ ，解の積は $c > 0$ なので2解はともに負である。 $a$ が奇数のとき，方程式は $- x^{2} + b x + c = 0$ ，すなわち $x^{2} - b x - c = 0$ であり，解の積が $- c < 0$ なので一方は正，一方は負である。したがって有利な組は， $a$ が奇数であるすべての場合の

3 \cdot 36 = 108

通りである。よって条件付き確率は

\frac{108}{159} = \frac{36}{53}

である。

広島大学 2021年度文理共通数学 第3問（理系）

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2021年度
文理共通数学第3問（理系）