広島大学 2021年度文理共通数学第3問（文系）解答・解説

問題

$1$ 個のさいころを $3$ 回投げる． $1$ 回目に出た目の数を $a,$ $2$ 回目に出た目の数を $b,$ $3$ 回目に出た目の数を $c$ とする．また， $f (x) = (- 1)^{a} x^{2} + b x + c$ とする．次の問いに答えよ．(1)　 $b^{2} > 4 c$ である確率を求めよ．(2)　 $2$ 次方程式 $f (x) = 0$ が異なる二つの実数解をもつ確率を求めよ．(3)　 $2$ 次方程式 $f (x) = 0$ が異なる二つの実数解をもつとき， $f^{'} (1) = 1$ である条件付き確率を求めよ．

出典：広島大学 2021年度前期文理共通第3問

方針

まず $(b, c)$ の36通りを $b$ ごとに数え， $b^{2} > 4 c$ の個数を出す。次に $a$ の偶奇で2次係数が変わるので判別式を分ける。条件付き確率は，実数解をもつ全事象の個数と $f^{'} (1) = 1$ を満たす個数を比べる。

解答

(1)

$b = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ の順に， $b^{2} > 4 c$ を満たす $c$ の個数は

0, 0, 2, 3, 6, 6

である。したがって求める確率は

\frac{17}{36}

である。

(2)

$a$ が偶数のとき，判別式は $b^{2} - 4 c$ であるから，条件を満たす $(b, c)$ は(1)より17通りである。 $a$ が奇数のとき，判別式は $b^{2} + 4 c$ であり，常に正である。よって条件を満たす組の数は

3 \cdot 17 + 3 \cdot 36 = 159

である。全体は $6^{3} = 216$ 通りなので，求める確率は

\frac{159}{216} = \frac{53}{72}

である。

(3)

f^{'} (1) = 2 (- 1)^{a} + b

である。 $f^{'} (1) = 1$ となるのは， $a$ が奇数で $b = 3$ のときだけである。このとき判別式は $b^{2} + 4 c > 0$ であるから， $c$ は6通りすべて可能である。したがって条件を満たす組は $3 \cdot 6 = 18$ 通りである。よって条件付き確率は

\frac{18}{159} = \frac{6}{53}

である。

広島大学 2021年度文理共通数学 第3問（文系）

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

広島大学 2021年度
文理共通数学第3問（文系）