広島大学 2021年度文理共通数学第1問解答・解説

問題

$a$ を実数とする．関数 $f (x) = - \frac{2}{3} x^{3} + \frac{2 a + 1}{2} x^{2} - a x$ が $x = a$ で極大値をとるとき，次の問いに答えよ．(1)　 $a$ の満たす条件を求めよ．(2)　次の不等式を解け． $∣ x + 1 ∣ + ∣ x - 2 ∣ ≦ 4$ (3)　 $x$ が(2)の範囲を動くとき， $f (x)$ の最大値と最小値を $a$ を用いて表せ．

出典：広島大学 2021年度前期文理共通第1問

方針

まず $f^{'} (x)$ を因数分解し， $x = a$ が極大点になるための根の大小を調べる。(2)で絶対値不等式から閉区間を求め，(3)では導関数の符号変化と端点値を比較して最大値・最小値を決める。

解答

(1)

f^{'} (x) = - 2 x^{2} + (2 a + 1) x - a = - (x - a) (2 x - 1)

である。 $x = a$ で極大値をとるには，導関数の符号が $x = a$ の前後で正から負に変わればよい。 $f^{'} (x)$ は上に凸でない2次式であり，根は $a$ と $\frac{1}{2}$ であるから， $a$ が大きい方の根でなければならない。よって

a > \frac{1}{2}

である。

(2)

$x < - 1$ では $∣ x + 1∣ + ∣ x - 2∣ = 1 - 2 x$ ， $- 1 ≦ x ≦ 2$ では $3$ ， $2 < x$ では $2 x - 1$ である。したがって

- \frac{3}{2} ≦ x ≦ \frac{5}{2}

である。

(3)

(1)より $a > \frac{1}{2}$ であり， $f^{'} (x)$ の符号は

- (x < \frac{1}{2}), + (\frac{1}{2} < x < a), - (a < x)

である。また

f (- \frac{3}{2}) = \frac{30 a + 27}{8}, f (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 6 a}{24}, f (\frac{5}{2}) = \frac{90 a - 175}{24}, f (a) = \frac{a ^{2} ( 2 a - 3 )}{6}

である。 $a ≦ \frac{5}{2}$ のときも $f (a) ≦ \frac{25}{12} < \frac{21}{4} < f (- \frac{3}{2})$ であり， $a > \frac{5}{2}$ のときは区間内で $x = a$ をとらない。したがって最大値は常に左端でとり，

\frac{30 a + 27}{8}

である。最小値については

f (\frac{5}{2}) - f (\frac{1}{2}) = \frac{16 ( 6 a - 11 )}{24}

より，

⎩ ⎨ ⎧ \frac{90 a - 175}{24} \frac{1 - 6 a}{24} (\frac{1}{2} < a < \frac{11}{6}), (a ≧ \frac{11}{6})

である。

広島大学 2021年度文理共通数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

広島大学 2021年度
文理共通数学第1問