広島大学 2021年度文理共通数学第2問解答・解説

問題

座標平面において，二つの放物線 $y = x^{2},$ $y = - 2 x^{2} + 3 x + 2$ 上にそれぞれ点 $A (1, 1),$ 点 $C (2 - 1, 2 + 1)$ をとる．次の問いに答えよ．(1)　放物線 $y = x^{2}$ 上に点 $A$ と異なる点 $B$ があり， $A B$ と $C B$ は垂直であるとする．このとき， $B$ の座標を求めよ．(2)　放物線 $y = - 2 x^{2} + 3 x + 2$ 上に点 $C$ と異なる点 $D$ があり， $A D$ と $C D$ は垂直であるとする．このとき， $D$ の座標を求めよ．(3)　 $B,$ $D$ はそれぞれ(1)，(2)で定めたものとする．このとき，四角形 $A B C D$ が正方形であることを示せ．

出典：広島大学 2021年度前期文理共通第2問

方針

放物線上の点をそれぞれ文字で置き，垂直条件を内積ゼロとして方程式にする。既知点 $A, C$ に対応する解を除き，残る実数解を求める。最後は隣り合う辺の長さと内積を計算して正方形を示す。

解答

(1)

$B = (u, u^{2})$ とおく。垂直条件より

(u - 1) (u - 2 + 1) + (u^{2} - 1) (u^{2} - 2 - 1) = 0

である。 $u = 1$ は点 $A$ に対応するので除く。左辺を $u - 1$ で割ると

u^{3} + u^{2} - 2 u - 22 = 0

すなわち

(u - 2) {u^{2} + (2 + 1) u + 2} = 0

である。2次式の判別式は負であるから， $u = 2$ 。よって

B = (2, 2)

である。

(2)

$D = (v, - 2 v^{2} + 3 v + 2)$ とおく。垂直条件より

(v - 1) (v - 2 + 1) + (- 2 v^{2} + 3 v + 2 - 1) (- 2 v^{2} + 3 v - 1) = 0

である。整理すると

v {v - (2 - 1)} {v^{2} - (22 + 1) v + 1 + 22} = 0

となる。 $v = 2 - 1$ は点 $C$ に対応し，2次式の判別式は負である。したがって $v = 0$ であり，

D = (0, 2)

である。

(3)

A B = (2 - 1, 1), B C = (- 1, 2 - 1)

であるから，

∣ A B ∣^{2} = (2 - 1)^{2} + 1 = 4 - 22,

∣ B C ∣^{2} = 1 + (2 - 1)^{2} = 4 - 22

であり，さらに

A B \cdot B C = - (2 - 1) + (2 - 1) = 0

である。また

C D = (1 - 2, - 1) = - A B, D A = (1, 1 - 2) = - B C

であるから，四角形 $A B C D$ は平行四辺形である。隣り合う辺の長さが等しく，かつそのなす角が直角であるので，四角形 $A B C D$ は正方形である。

広島大学 2021年度文理共通数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

広島大学 2021年度
文理共通数学第2問