広島大学 2018年度理系数学第5問解答・解説

問題

座標平面上で，曲線 $C : y = x^{3} - 3 x$ と， $b > a^{3} - 3 a$ を満たすように動く点 $P (a, b)$ を考える．また，点 $P$ に対し，二つの不等式 $∣ x - a ∣ ≦ 1 ， ∣ y - b ∣ ≦ 1$ によって表される座標平面上の領域を $B$ とする．領域 $B$ と曲線 $C$ に対して， $B$ と $C$ が共有点 $Q$ をもち，さらに $B$ と $C$ の共有点が $B$ の境界線上にしかないとき， $B$ と $C$ は点 $Q$ で接するということにする．次の問いに答えよ．(1)　曲線 $C$ の概形をかき，さらに点 $P$ の座標が $(- 2, 3)$ のときの領域 $B$ を図示せよ．(2)　 $B$ と $C$ が $x < - 1$ の範囲にある点で接するように，点 $P$ は動くとする．このときの点 $P$ の軌跡を求めよ．(3)　 $B$ と $C$ がある点で接するように点 $P$ は動くとする．このときの点 $P$ の軌跡を求めよ．(4)　(3)の点 $P$ の軌跡は，ある関数 $y = f (x)$ のグラフで表すことができる．この $y = f (x)$ は $x = 0$ で微分可能であることを示せ．

出典：広島大学 2018年度前期理系第5問

方針

領域 $B$ は中心 $(a, b)$ ，上下左右に1だけ離れた正方形である。 $P$ が曲線の上側にあるので，接する条件は区間 $[a - 1, a + 1]$ 上の $x^{3} - 3 x$ の最大値が $b - 1$ に等しいこととして扱える。最大値を端点と極大点 $- 1$ で比較し，軌跡を場合分けで求める。

解答

(1)

$y = x^{3} - 3 x$ とおくと， $y^{'} = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1)$ である。したがって $x = - 1$ で極大値 $2$ ， $x = 1$ で極小値 $- 2$ をとる三次曲線である。

$P = (- 2, 3)$ のとき，領域 $B$ は

- 3 ≦ x ≦ - 1, 2 ≦ y ≦ 4

で表される正方形である。

(2)

接点の $x$ 座標を $s$ とする。 $s < - 1$ で接するとき，曲線はその付近で増加しているので，正方形の下辺の右端側で接する。したがって

a = s - 1, b = (s^{3} - 3 s) + 1

である。 $s < - 1$ より $a < - 2$ であり， $s = a + 1$ として

b = (a + 1)^{3} - 3 (a + 1) + 1 = a^{3} + 3 a^{2} - 1

を得る。よって点 $P = (a, b)$ の軌跡は

y = x^{3} + 3 x^{2} - 1 (x < - 2)

である。

(3)

$g (x) = x^{3} - 3 x$ とおく。 $P = (a, b)$ に対して， $B$ と $C$ が接する条件は

b = 1 + a - 1 ≦ x ≦ a + 1 max g (x)

である。 $g (x)$ は $- 1$ で極大値 $2$ をとり，端点での値は

g (a - 1) + 1 = a^{3} - 3 a^{2} + 3, g (a + 1) + 1 = a^{3} + 3 a^{2} - 1

である。これらを比較すると，軌跡は次の関数のグラフで表される。

y = f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x^{3} + 3 x^{2} - 1 3 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{2} - 1 (x ≦ - 2), (- 2 ≦ x ≦ 0), (0 ≦ x ≦ \frac{2}{3}), (\frac{2}{3} ≦ x) .

(4)

(3)より， $x = 0$ の左側では $f (x) = 3$ ，右側では $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3$ である。したがって

x \to 0 - lim \frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x} = 0, x \to 0 + lim \frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x} = x \to 0 + lim (x^{2} - 3 x) = 0

である。左右の微分係数が一致するので， $y = f (x)$ は $x = 0$ で微分可能である。

広島大学 2018年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2018年度
理系数学第5問