広島大学 2018年度理系数学第2問解答・解説

問題

複素数平面上の $4$ 点 $A (α) ， B (β) ， C (γ) ， D (δ)$ を頂点とする四角形 $A B C D$ を考える．ただし，四角形 $A B C D$ は，すべての内角が $18 0^{\circ}$ より小さい四角形（凸四角形）であるとする．また，四角形 $A B C D$ の頂点は反時計回りに $A ， B ， C ， D$ の順に並んでいるとする．四角形 $A B C D$ の外側に， $4$ 辺 $A B ， B C ， C D ， D A$ をそれぞれ斜辺とする直角二等辺三角形 $A P B ， B QC ， C R D ， D S A$ を作る．次の問いに答えよ．(1)　点 $P$ を表す複素数を求めよ．(2)　四角形 $P QR S$ が平行四辺形であるための必要十分条件は，四角形 $A B C D$ がどのような四角形であることか答えよ．(3)　四角形 $P QR S$ が平行四辺形であるならば，四角形 $P QR S$ は正方形であることを示せ．

出典：広島大学 2018年度前期理系第2問

方針

各辺の外側に作る直角二等辺三角形の頂点を，辺の中点から辺ベクトルを $- 9 0^{\circ}$ 回転した点として表す。平行四辺形条件は対角線の中点一致 $p + r = q + s$ で判定し，最後は隣り合う辺ベクトルが $9 0^{\circ}$ 回転の関係になることを示す。

解答

(1)

四角形 $A B C D$ の頂点は反時計回りなので，辺 $A B$ の外側は， $A$ から $B$ へ向かう向きの右側である。したがって，点 $P$ を表す複素数を $p$ とすると

p = \frac{α + β}{2} - \frac{i ( β - α )}{2} = \frac{( 1 + i ) α + ( 1 - i ) β}{2}

である。

(2)

同様に

q = \frac{( 1 + i ) β + ( 1 - i ) γ}{2}, r = \frac{( 1 + i ) γ + ( 1 - i ) δ}{2}, s = \frac{( 1 + i ) δ + ( 1 - i ) α}{2}

である。四角形 $P QR S$ が平行四辺形であることは $p + r = q + s$ と同値である。計算すると

p + r - q - s = i (α - β + γ - δ)

であるから，条件は

α + γ = β + δ

である。これは四角形 $A B C D$ の対角線の中点が一致することを表す。よって必要十分条件は，四角形 $A B C D$ が平行四辺形であることである。

(3)

四角形 $A B C D$ が平行四辺形であるとする。 $u = β - α$ ， $v = γ - β$ とおくと， $δ - γ = - u$ である。すると

q - p = \frac{( 1 + i ) u + ( 1 - i ) v}{2},

r - q = \frac{( 1 + i ) v - ( 1 - i ) u}{2} = i (q - p)

である。したがって隣り合う辺 $P Q$ と $QR$ は長さが等しく，互いに垂直である。(2)より $P QR S$ は平行四辺形でもあるから， $P QR S$ は正方形である。

広島大学 2018年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

広島大学 2018年度
理系数学第2問