広島大学 2018年度理系数学第4問解答・解説

問題

$0 ， 1 ， 2 ， 3$ の数字が一つずつ書かれた $4$ 枚のカードがある．この中から $1$ 枚を取り出し，書かれた数字を見て元に戻す．この操作を $N$ 回繰り返し，カードに書かれた数字を順に $Z_{1} ， Z_{2} ， \dots ， Z_{N}$ とする．ここで， $N$ は $3$ 以上の自然数である．さらに，複素数 $α = cos \frac{2}{3} π + i sin \frac{2}{3} π$ を用いて，項数 $N$ の数列 ${X_{n}}$ を $X_{1} = α^{Z_{1}} ， X_{n + 1} = X_{n} α^{Z_{n + 1}} （ n = 1 ， 2 ， \dots ， N - 1 ）$ により定める． $n = 1 ， 2 ， \dots ， N$ に対し， $X_{n} = α$ となる確率を $P_{n}$ とし， $X_{n} = α^{2}$ となる確率を $Q_{n}$ とする．次の問いに答えよ．(1)　 $P_{1}$ を求めよ．(2)　 $n = 1 ， 2 ， \dots ， N - 1$ とする． $α^{Z_{n + 1}} = 1$ となる確率を求めよ．(3)　 $n = 1 ， 2 ， \dots ， N$ とする． $X_{n} = 1$ となる確率を， $P_{n}$ と $Q_{n}$ を用いて表せ．(4)　 $n = 1 ， 2 ， \dots ， N - 1$ に対し， $P_{n}$ を用いて $P_{n + 1}$ を表せ．(5)　 $n = 1 ， 2 ， \dots ， N$ に対し， $P_{n}$ を求めよ．

出典：広島大学 2018年度前期理系第4問

方針

$α^{3} = 1$ を用いて，状態を $1, α, α^{2}$ の3つに分ける。1回の操作で掛けられる値の確率は $1$ が $1/2$ ， $α$ と $α^{2}$ がそれぞれ $1/4$ 。この状態遷移から $P_{n + 1}$ の一次漸化式を作る。

解答

(1)

$Z_{1} = 1$ のときだけ $X_{1} = α$ であるから

P_{1} = \frac{1}{4}

である。

(2)

$α^{3} = 1$ である。 $Z_{n + 1} = 0, 3$ のとき $α^{Z_{n + 1}} = 1$ となるので，その確率は

\frac{2}{4} = \frac{1}{2}

である。

(3)

$X_{n}$ は $1, α, α^{2}$ のいずれかである。したがって

P (X_{n} = 1) = 1 - P_{n} - Q_{n}

である。

(4)

$X_{n + 1} = α$ となるのは，次の三つの場合である。

X_{n} = α かつ α^{Z_{n + 1}} = 1,

X_{n} = 1 かつ α^{Z_{n + 1}} = α,

X_{n} = α^{2} かつ α^{Z_{n + 1}} = α^{2}

である。よって

P_{n + 1} = \frac{1}{2} P_{n} + \frac{1}{4} (1 - P_{n} - Q_{n}) + \frac{1}{4} Q_{n} = \frac{1}{4} P_{n} + \frac{1}{4}

である。

(5)

(4)より

P_{n + 1} - \frac{1}{3} = \frac{1}{4} (P_{n} - \frac{1}{3})

である。 $P_{1} = \frac{1}{4}$ だから

P_{n} = \frac{1}{3} - \frac{1}{12} (\frac{1}{4})^{n - 1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3 \cdot 4 ^{n}} = \frac{4 ^{n} - 1}{3 \cdot 4 ^{n}}

である。

広島大学 2018年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

広島大学 2018年度
理系数学第4問