広島大学 2018年度理系数学第3問解答・解説

問題

次の問いに答えよ．(1)　すべての実数 $t$ に対し， $1 + t ≦ e^{t}$ が成り立つことを示せ．(2)　定積分 $\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{1 + s i n x} d x$ の値を求めよ．(3)　次の不等式を示せ． $\frac{π}{4} - 1 + \frac{2}{2} ≦ \int_{0}^{\frac{π}{4}} e^{- s i n x} d x ≦ 2 - 2$

出典：広島大学 2018年度前期理系第3問

方針

(1)は $e^{t} - t - 1$ の増減で示す。(2)は分母を有理化して $\frac{1 - s i n x}{c o s ^{2} x}$ とする。(3)は (1) を $t = - sin x$ と $t = sin x$ に使い，下側は $1 - sin x$ ，上側は $1/ (1 + sin x)$ で評価する。

解答

(1)

$ϕ (t) = e^{t} - t - 1$ とおくと， $ϕ^{'} (t) = e^{t} - 1$ である。したがって $t < 0$ で $ϕ^{'} (t) < 0$ ， $t > 0$ で $ϕ^{'} (t) > 0$ であり， $ϕ (t)$ は $t = 0$ で最小値 $0$ をとる。よってすべての実数 $t$ に対して

1 + t ≦ e^{t}

である。

(2)

\frac{1}{1 + sin x} = \frac{1 - sin x}{cos ^{2} x}

であるから

\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{1 + sin x} d x = \int_{0}^{\frac{π}{4}} (\frac{1}{cos ^{2} x} - \frac{sin x}{cos ^{2} x}) d x = [tan x - \frac{1}{cos x}]_{0}^{\frac{π}{4}} = 2 - 2

である。

(3)

(1)で $t = - sin x$ とすると

1 - sin x ≦ e^{- s i n x}

である。よって

\int_{0}^{\frac{π}{4}} e^{- s i n x} d x ≧ \int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 - sin x) d x = \frac{π}{4} - 1 + \frac{2}{2}

である。

また，(1)で $t = sin x$ とすると $e^{s i n x} ≧ 1 + sin x$ であるから

e^{- s i n x} ≦ \frac{1}{1 + sin x}

である。したがって (2) より

\int_{0}^{\frac{π}{4}} e^{- s i n x} d x ≦ 2 - 2

である。以上より求める不等式が示された。

広島大学 2018年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

広島大学 2018年度
理系数学第3問