横浜国立大学 2024年度文系数学第3問解答・解説

問題

$m$ ， $n$ を実数とする。 $x y$ 平面上に直線 $l : y = m x + n$ と曲線 $C : y = x^{3} - 3 x^{2}$ があり， $l$ と $C$ は異なる3点で交わっている。各交点の $x$ 座標を $a$ ， $b$ ， $c$ （ $a < b < c$ ）とおく。

以下， $b = \frac{a + c}{2}$ が成り立つとする。次の問いに答えよ。

(1) $b$ の値を求めよ。

(2) $m$ ， $n$ をそれぞれ $a$ を用いて表せ。また， $a$ の取りうる値の範囲を求めよ。

$l$ の傾きを $tan α$ （ $- \frac{π}{2} < α < \frac{π}{2}$ ）とし， $C$ 上の点 $(a, a^{3} - 3 a^{2})$ における $C$ の接線 $l^{'}$ の傾きを $tan β$ （ $- \frac{π}{2} < β < \frac{π}{2}$ ）とする。

(3) $\frac{1}{tan ( β - α )}$ を $a$ を用いて表せ。

(4) $a$ が(2)で求めた範囲にあるとき， $\frac{1}{tan ( β - α )}$ の最小値とそのときの $a$ の値を求めよ。

出典：横浜国立大学 2024年度前期文系第3問

方針

交点の $x$ 座標を3次方程式の根とみて，解と係数の関係を使う。 $b = (a + c) /2$ と根の和から $b$ を決め， $m, n$ を得る。後半は傾きの差の公式を用いて $(a - 1)^{2}$ だけの式にし，相加相乗平均で最小値を求める。

解答

(1)

交点の $x$ 座標は

x^{3} - 3 x^{2} - m x - n = 0

の3つの実数解である。解と係数の関係より

a + b + c = 3

である。一方， $b = (a + c) /2$ より $a + c = 2 b$ だから， $3 b = 3$ となり，

b = 1

である。

(2)

$a + c = 2$ より $c = 2 - a$ である。解と係数の関係から

ab + b c + c a = - m, ab c = n

である。 $b = 1, c = 2 - a$ を代入して

m = a^{2} - 2 a - 2, n = 2 a - a^{2}

である。 $a < b < c$ かつ $b = 1$ より， $a$ の範囲は

a < 1

である。

(3)

$l$ の傾きは

tan α = m = a^{2} - 2 a - 2

である。また， $C$ 上の $x = a$ における接線の傾きは

tan β = 3 a^{2} - 6 a

である。したがって

\frac{1}{tan ( β - α )} = \frac{1 + tan α tan β}{tan β - tan α}

である。整理すると

\frac{1}{tan ( β - α )} = \frac{3}{2} (a - 1)^{2} + \frac{5}{( a - 1 ) ^{2}} - 6

である。

(4)

$a < 1$ より $(a - 1)^{2} > 0$ である。 $u = (a - 1)^{2}$ とおくと，(3)の式は

\frac{3}{2} u + \frac{5}{u} - 6

である。相加相乗平均より

\frac{3}{2} u + \frac{5}{u} ≧ 2 \frac{3}{2} \cdot 5 = 30

であり，等号は $u = 10/3$ のとき成り立つ。よって最小値は

30 - 6

であり，このとき

a = 1 - 4 \frac{10}{3}

である。

横浜国立大学 2024年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

横浜国立大学 2024年度
文系数学第3問