横浜国立大学 2024年度文系数学第1問解答・解説

問題

正の整数 $n$ に対し，関数 $f (x)$ を

f (x) = x^{3} - 4 x^{2} - 2^{n} x + 8

と定義する。 $x$ についての方程式 $f (x) = 0$ が3つの実数解 $α$ ， $β$ ， $γ$ （ $α < β < γ$ ）をもち，そのうちの1つが負の整数であるとする。次の問いに答えよ。

(1) $n$ ，および $α$ ， $β$ ， $γ$ を求めよ。

(2) $\int_{β}^{γ} f (x) d x$ を求めよ。

出典：横浜国立大学 2024年度前期文系第1問

負の整数解を $- k$ と置き， $k$ が8の約数に限られることを使って候補を絞る。得られた $n$ で因数分解し，積分は $x - 3 = u$ と置いて対称区間の奇関数部分を消す。

負の整数解を $- k$ （ $k$ は正の整数）とする。 $f (- k) = 0$ より

- k^{3} - 4 k^{2} + 2^{n} k + 8 = 0

すなわち

2^{n} = k^{2} + 4 k - \frac{8}{k}

である。右辺が整数であるためには $k$ は8の正の約数である。 $k = 1, 2, 4, 8$ を調べると，2の累乗になるのは $k = 2$ のときだけで，このとき $2^{n} = 8$ ，すなわち $n = 3$ である。

このとき

f (x) = x^{3} - 4 x^{2} - 8 x + 8 = (x + 2) (x^{2} - 6 x + 4)

である。したがって3つの実数解は

α = - 2, β = 3 - 5, γ = 3 + 5

である。

$u = x - 3$ とおくと， $x = β$ から $x = γ$ まで動くとき， $u$ は $- 5$ から $5$ まで動く。また

f (x) = (u + 5) (u^{2} - 5) = u^{3} + 5 u^{2} - 5 u - 25

である。奇関数部分の積分は0になるので，

\int_{β}^{γ} f (x) d x = \int_{- 5}^{5} (5 u^{2} - 25) d u

である。よって

\int_{β}^{γ} f (x) d x = 5 \cdot \frac{2 ( 5 ) ^{3}}{3} - 25 \cdot 25 = - \frac{100 5}{3}

である。