横浜国立大学 2024年度文系数学第2問解答・解説

問題

$x y z$ 空間内に，2点 $P (1, 2, 3)$ ， $Q (4, - 4, 9)$ を通る直線 $l$ がある。点 $A (9, 1, 7)$ から $l$ にひいた垂線と $l$ との交点を $H$ とする。また， $l$ と点 $B (1, 2, - 15)$ を含む平面を $α$ とする。次の問いに答えよ。

(1) $H$ の座標，および線分 $H A$ の長さを求めよ。

(2) 以下の2つの条件をともにみたす，平面 $α$ 上の点 $C$ の座標をすべて求めよ。

H C ⊥ l, H C = H A

出典：横浜国立大学 2024年度前期文系第2問

方針

直線 $l$ の方向ベクトルを $(1, - 2, 2)$ に簡約する。垂足 $H$ は $P + λ (1, - 2, 2)$ と置いて内積0で求める。平面 $α$ 内で直線方向に垂直なベクトルを1本作り，長さ条件から2点を得る。

解答

(1)

直線 $l$ の方向ベクトルとして

d = (1, - 2, 2)

を用いる。 $H = P + λ d$ とおくと， $(A - H) \cdot d = 0$ より

λ = \frac{( A - P ) \cdot d}{∣ d ∣ ^{2}} = \frac{18}{9} = 2

である。したがって

H = (1, 2, 3) + 2 (1, - 2, 2) = (3, - 2, 7)

である。また

H A = ∣ (9, 1, 7) - (3, - 2, 7) ∣ = ∣ (6, 3, 0) ∣ = 35

である。

(2)

平面 $α$ は直線 $l$ と点 $B$ を含む。 $B - P = (0, 0, - 18)$ であるから，平面 $α$ の方向は $d$ と $(0, 0, 1)$ で表される。この平面内で $d$ に垂直なベクトルを

w = a d + b (0, 0, 1)

とおくと， $w \cdot d = 0$ より $9 a + 2 b = 0$ ，すなわち $b = - 9 a /2$ である。よって

w = (a, - 2 a, - \frac{5}{2} a)

であり，

∣ w ∣^{2} = \frac{45}{4} a^{2}

である。 $H C = H A = 35$ より $∣ w ∣^{2} = 45$ なので， $a = \pm 2$ である。したがって

C = H + (2, - 4, - 5) = (5, - 6, 2)

または

C = H + (- 2, 4, 5) = (1, 2, 12)

である。

横浜国立大学 2024年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

横浜国立大学 2024年度
文系数学第2問